Question

一道高三导数题，急！

已知二次函数R(x)=x^2+bx+c 的图像关于x=-1对称，与y轴交与（0，1）点. 函数f(x)=R(x)-ln [R(x)].若关于x的方程f(x)=x^2+x+a在区间[0,2]上恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
嗯，主要讲解下怎么求的和相异实根的概念（分不清相异实根与同号和异号实根的区别）。

Answer 1

由关于x=-1和y轴交点知道R=x^2+2x+1
故方程经化简为x+1-a-ln（x^2+2x+1）=0
设y=x+1-a-ln（x^2+2x+1），求导可知y'=1-2（x+1)/(x^2+2x+1)
令y'=0，解得x=1，当x<1时y'<0,x>1时y'>0
由此可知y在（0,1）上单调减，（1,2）上单调增
因为有两个相异实根，所以f（0）>0,f(1)<0,f(2)>0
完毕。
相异实根是两个不同的根(三角大于0)，同号实根是两个根符号相同（二者乘积>0），相异实根是两个根符号不同（二者乘积<0）

追问

为什么有两个相异实根，所以f（0）>0,f(1)0？这句话不懂，求解释!
给的答案是（2-ln4，3-ln9],求解释！尤其最后几步不明白。谢谢

追答

你画一下y在区间上的图像。因为前一步分析了函数的单调性，实际上a是用来控制函数与x轴的交点的，a减小则函数向下移动，反之则向上移动，这是a的几何意义。
因为函数有两个相异实根，所以函数图像会两次穿过x轴，且导数等于0的点一定与区间端点的符号相异，故需要f（0）>0,f(1)0。你具体解一下，就是你说的答案了。
祝你好运！