Question

如图在三棱锥P-ABC中PA⊥平面ABC∠BAC=90°D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1PA=2求直线PA与平面DEF所

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Answer 1

取AC的中点G.连接GF, GE.知GE = 1/2, GF= 1 (中位线)
且GE//AB, GF//PA., DE//AC.
由于PA垂直于平面ABC,故GF垂直于ABC. 从而GF垂直于DE.(垂直于平面.就垂直于平面上的任何直线) 又DF垂直于GE, 故DE垂直于平面EFG.
从而平面DEF垂直于平面EFG.(过一平面的垂线的平面,垂直于这平面)
作GH垂直于EF于H.知GH垂直于平面DEF.(两平面垂直,则一平面内垂直于其交线的直线,垂直于另一平面)
故H为点G在平面DEF上的投影.HF为GF在平面DEF上的投影.
故角GFE为直线GF与平面DEF的夹角.
在直角三角形EFG中,求得:tan角EHG = 1/2. 或cos角EFG = 2/根号5 = 2(根号5)/5.
由于FG//PA, 故上述值也是AP与平面DEF所成角的余弦,
即:直线PA与平面DEF所成角的余弦为: 2(根号5)/5