Question

已知函数f(x)=ax^2-|x|+2a-1(a为实常数)

已知函数f(x)=ax^2-|x|+2a-1(a为实常数)
(1)若a=1,求f(x)的单调区间
(2)若a＞0，设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式
(3)设h(x)=f(x)/x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

解：（1）a=1，f（x）=x2-|x|+1=
x2-x+1，x≥0x2+x+1，x＜0
{
(x-12)2+34，x≥0(x+12)2+34，x＜0
（2分）
∴f（x）的单调增区间为（1/2，+∞），（-1/2，0）；f（x）的单调减区间为（-∞，-1/2），（0，1/2）（4分）
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-1/2a )2+2a-1/4a-1
①0＜1/2a＜1，即a＞1/2
f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2
②1≤1/2a≤2，即1/4≤a≤1/2时，g(a)=f(1/2a)=2a-1/4a-1
③1/2a＞2，即0＜a＜1/4时f（x）在[1，2]上是减函数：g（a）=f（2）=6a-3
6a-3 0＜a＜1/4
综上可得g(a)= { 2a-14a-1 1/4≤a≤1/2
3a-2 a＞1/2 （10分）
（3）h(x)=ax+(2a-1)/x-1在区间[1，2]上任取x1、x2，
则h(x2)-h(x1)=(ax2+(2a-1)/x2-1)-(ax1+(2a-1)/x1-1)
=(x2-x1)(a-(2a-1)/x1x2)=(x2-x1)/x1x2 [ax1x2-(2a-1)]（*）（12分）
∵h（x）在[1，2]上是增函数
∴h（x2）-h（x1）＞0
∴（*）可转化为ax1x2-（2a-1）＞0对任意x1、x2∈[1，2]
且x1＜x2都成立，即ax1x2＞2a-1
①当a=0时，上式显然成立
②a＞0x1x2＞2a-1/a，由1＜x1x2＜4得2a-1/a≤1，解得0＜a≤1
③a＜0x1x2＜2a-1/a，2a-1/a≥4，得-1/2≤a＜0
所以实数a的取值范围是[-1/2 ，1]（16分）

Answer 2

(1)代入对f（x）求导，可分x>0,x<0两种情况。
（2）求出a>0时，f（x）在区间[1,2]的单调情况，判断出x取什么值时f（x）为最小值，
然后代入x值求出g（a）
（3）由于x属于[1,2]，所以f（x）=ax^2-x+2a-1,然后求h（x），因为h（x）为增函数，
所以h‘（x）>0，以此求a的取值范围（当然还需考虑x的取值）

Answer 3

（1)若a=1,求f(x)的单调区间
(2)若a＞0，设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式
(3)设h(x)=f(x)/x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围

Answer 4

1、首先考虑a=0;
g(a)=-3
2
、当a!=0时
因为x>0,f(x)=ax^2-x+2a-1,
接着考虑a>0,a<0,再分别考虑对称轴的情况
(你还可以考虑一下是不是可以将x^2变为它的绝对值的平方呢)
(2)、可以利用求导，或者是ax+b/x>=2(ab)^0.5(前提是x大于0，小于0就是小于等于)，画图，在分析一下