Question

已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+3

已知抛物线y＝－x2+2mx-m2-m+3.

(1)m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

(2)若抛物线与x轴交于M、N两点，当 OM的绝对值 乘以 ON的绝对值=3 ，且OM的绝对值≠ON的绝对值 时，求抛物线的解析式；

(3)若(2)中所求抛物线的顶点为C，与y轴交在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交点B，直线y＝－x＋3与x轴交于点A.点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在直线AC上.试问：是否存在点P，使S△PAD＝1/4 S△ABC?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

以下是标答:望楼主采纳 解：（1）y=-x 2 +2mx-m 2 -m+3=-（x-m） 2 -m+3，
∴顶点坐标为（m，-m+3），
∴顶点在直线y=-x+3上．
（2）∵抛物线与x轴交于M、N两点，
∴△＞0，
即：（2m） 2 -4（m 2 +m-3）＞0，
解得：m＜3，
∵OM•ON=3，
∴m 2 +m-3=±3，
当m 2 +m-3=-3时，m 2 +m=0，
∴m=0，m=-1，
∴当m=0时，y 1 =-x 2 +3（与OM≠ON矛盾，舍），
∴m=-1，y 1 =-x 2 -2x+3，
当m 2 +m-3=3时，m 2 +m-6=0，
∴m=2，m=-3，
∴y 2 =-x 2 +4x-3，y 3 =-x 2 -6x-3．
（3）∵抛物线与y轴交点在原点的上方
∴y=-x 2 -2x+3，
∴C（-1，4），B（-1，0），
∵直线y=-x+3与x轴交于点A，
∴A（3，0），
∵BA=BC，
∴∠PCD=45°，
∴设PD=DC=x，
则PC= x，AD=4 -x，
∵S △PAD=1/4 S △ABC ，
∴ 1/2（4 -x）•x= 1/4× 1/2×4×4，x 2 -4 x+4=0；
解得：x=2 ±2；
当x=2 +2时，PC= x=4+2 ，
∴4-y P =4+2 ，
∴y P =-2 ，
∴P（-1，-2 ），
当x=2 -2时，PC=4-2 ，
∴y P =2 ，
∴P（-1，2 ），
∴P（-1，2 ）或P（-1，-2 ）．