Question

已知二次函数f（x）满足f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)

Answer 1

解：（1）∵二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
设f（x）=ax2+bx+c，f（0）=1可得c=1，
a（x+1）2+b（x+1）-ax2-bx=2x，
可得a=1，b=-1，
∴f（x）=x2-x+1；
（2）g（x）=f（x）-ax2+1=（1-a）x2-x+2，
g（x）=0有一个正的零点⇔（1-a）x2-x+2=0有一个正根，
①当1-a=0即a=1，得x=2，符合题意；
②1-a≠0即a≠1时，△=1-8（1-a）=8a-7，
当8a-7=0，即a=78时，方程有等根x=4，符合题意，
当a＞78时，△＞0，只需两根x1x2＜0，即21-a＜0，
∴a＞1，
综上a的取值范围为[1，+∞）∪{78}；

Answer 2

设F(x)=ax²+bx+c
F(0)=1，所以c=1
F(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c=ax²+(2a+b)x+a+b+c
F(x+1)-F(x)=2ax+a+b=2x
所以，2a=2,a+b=0
所以，a=1,b=-1
所以，F(x)=x²-x+1

Answer 3

设f(x)=a x^2+bx+c ，f(0)=c所以c=1，又f(x+1)-f(x)=a (x+1)^2+b(x+1)+c-a x^2-bx-c=2ax+a+b=2x 比较等式两边同类项的系数,2a=2,a+b=0.所以a=1,b=-1.所以f(x)=x^2-x+1

Answer 4

f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=1 知c=1
f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x
得 a=1 b=-1
f(x)=x^2-x+1