Question

已知F1、F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点，

已知F1、F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点，若向量AF2*向量F1F2等于0，椭圆的离心率等于√2/2，△AOF2的面积为2√2(O点为坐标原点)，求椭圆方程。

Answer 1

S△AOF2=2√2,得：ya*c=4√2，ya=4√2/c.................................(1)
向量AF2=(c-xa,-ya),向量F1F2=(2c,0),
向量AF2*向量F1F2等于0,所以：(c-xa)*2c+0=0,解得：xa=c.....(2)
因e=c/a=√2/2,所以：c=√2a/2...................................................(3)
将(1)(2)(3)式带入椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1得：
1/2+32/c^2/c^2=1,得：c^4=64,c=±2√2,
因xa=c，且A是椭圆上位于第一象限内的一点，所以c=2√2，a=4，b=2√2。
于是椭圆方程为：x^2/16+y^2/8=1

Answer 2

解：因为AF2*F1F2=0所以AF2⊥F1F2
AF1+AF2=2a
AF1²=AF2²+F1F2²
(AF1+AF2)(AF1-AF2)=4c²
AF1-AF2=2c²/a
AF1+AF2=2a
2AF2=2a-2c²/a
AF2=a-c²/a
AO是F1F2边上中线
所以S△AOF2=1/2S△AF1F2
S△AF1F2=4√2
1/2F1F2×AF2=4√2
AF2=4√2/c
所以
a-c²/a=4√2/c
a²-c²=4√2a/c
a²-c²=b²
c/a=√2/2代入上式
b²=8
a=√2c
a²=2c²
a²=b²+c²
所以b²=c²=8
a²=16
所以方程：x²/16+y²/8=1