Question

椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)其左右焦点分别为F1F2且向量F1P*向量F2P=-6

（1）求椭圆E的方程
（2）若MN是直线X=5上的两点且F1M⊥F2N，圆C是以MN为直径的圆是否过定点

Answer 1

1
F1(-c,0) F2(c,0)
向量F1P (3+c,1)
向量F2P (3-c,1)
F1P*F2P=(3+c)(3-c)+1=-6
10-c^2=-6
c^2=16
P(3,1)
2a=F1P+F2P=√[(3-4)^2+1]+√((3+4)^2+1)=6√2
a=3√2
a^2=18
b^2=2
x^2/18+y^2/2=1

2设F1M和F2N的交点为S
那么F1S垂直F2S
S在x^2+y^2=16圆上
S(4cosu,4sinu)
F1M直线：y=[4sinu/(4cosu+4)](x+4)
x=5, y=9sinu/(cosu+1)=9tan(u/2)
F2N直线：y=[4sinu/(4cosu-4)](x+4)
x=5, y=-9cot(u/2)
MN=9(tanu/2+cotu/2)=18/sinu
Cx=5,Cy=9(tanu/2-cotu/2)=-18cotu
(x-5)^2+(y+18cotu)^2=18^2/sinu^2
随着u的变化，MN和圆心C都在变化，因此圆C不会过定点

Answer 2

解：（1）设点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），
则 F1P =(3+c，1)， F2P =(3-c，1)，
故 F1P • F2P =(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，
解得c=4，
所以2a=|PF1|+|PF2|= (3+4)2+12 + (3-4)2+12 =6 2 ，
所以a=3 2 ，b2=a2-c2=18-16=2，
所以椭圆E的方程为x2 18 +y2 2 =1．　　　　　
（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则 F1M =(9，m)， F2N =(1，n)，
因为 F1M ⊥ F2N ，
所以 F1M • F2N =9+mn=0，即mn=-9，
又因为圆C的圆心为(5，m+n 2 )，半径为|m-n| 2 ，
所以圆C的方程为(x-5)2+(y-m+n 2 )2=(|m-n| 2 )2，
即（x-5）2+y2-（m+n）y+mn=0，即（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0，
令y=0，可得x=8或2，
所以圆C必过定点（8，0）和（2，0）．