Question

运用拉格朗日中值定理证明不等式（lnb-lna）/（b-a）>（2a）/（a^2+b^2）

Answer 1

具体回答如下：

证明：

构造：f(x)=lnx，其中x∈(a,b)

根据拉格朗日中值定理：

(lnb-lna)/(b-a) = f'(ξ) = 1/ξ

 1/ξ > 1/b

2a/(a²+b²) ≤2a/2ab=1/b

1/ξ >1/b≥2a/(a²+b²)

(lnb-lna)/(b-a) >2a/(a²+b²)

拉格朗日中值定理的性质：

该定理给出了导函数连续的一个充分条件，必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。

我们知道，函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。

由导数的定义可知，函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右导数相等，因此分别来研究左右导数。

Answer 2

证明：
构造：f(x)=lnx，其中x∈(a,b)
根据拉格朗日中值定理：
(lnb-lna)/(b-a) = f'(ξ) = 1/ξ
又∵ 1/ξ > 1/b

而：
2a/(a²+b²)
≤2a/2ab
=1/b
因此：
1/ξ >1/b≥2a/(a²+b²)
∴
(lnb-lna)/(b-a) >2a/(a²+b²)

Answer 3

取特值。a取1，b取e。