Question

对任意x属于R，不等式(kx^2-2x+k)\(x^2+x+1)<0恒成立，求k的取值范围

k<-1

Answer 1

解：因为对任意x属于R，不等式(kx^2-2x+k)\(x^2+x+1)<0恒成立
又因为x^2+x+1恒大于0所以上式转换为kx^2-2x+k<0
k（x^2+1）<2x对于x属于R恒成立。又x^2+1恒大于零
所以k<2x/（x^2+1）恒成立，此时令Y=2x/（x^2+1）,题目转换为要使k<2x/（x^2+1）恒成立，只要k比函数Y=2x/（x^2+1）最小值还要小就恒成立。此时的关键就是求出Y=2x/（x^2+1）,的最小值，此时来求
Y=2x/（x^2+1）转换为Yx^2-2x+Y=0（*），当Y=0时，x=0，
当Y不等于零时，对于（*）式，△=4-4Y^2大于等于零，所以-1小于等于Y小于等于1，
结合两种情况，函数Y=2x/（x^2+1）最小值为-1
所以k<-1

Answer 2

因为x^2+x+1恒大于0，所以上面的不等式两边同时乘以分母，即kx^2-2x+k<x^2+x+1恒成立。
即(k-1)x^2-3x+(k-1)<0恒成立。即k-1<0，k<1开口向下；△=9-4(k-1)^2<0，所以k<-1/2或k>5/2,。
所以k<-1/2

追问

答案为k<-1