Question

已知椭圆G:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率为√6/3，短轴的一个端点到右焦点的距离为√3，直线l

已知椭圆G:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率为√6/3，短轴的一个端点到右焦点的距离为√3，直线l：kx+m交椭圆于不同的两点A,B
（1）求椭圆的方程
（2）若坐标原点O到直线l的距离为√3/2,求三角形AOB面积的最大值

Answer 1

（1）、由短轴的一个端点到右焦点的距离为√3，可得：a^2=b^2+c^2=3,a=√3
又e=c/a=√6/3,求得：c=√2，b=1，
所以椭圆方程为：x^2/3+y^2=1
（2）将y=kx+m带入椭圆方程为x^2/3+y^2=1，
化简得：(3k^2+1)x^2+6kmx+3m^2-3=0,
可得：xa+xb=-6km/(3k^2+1),xa*xb=(3m^2-3)/(3k^2+1)
于是：(xa-xb)^2=(xa+xb)^2-4xa*xb=(36k^2-12m^2+12)/(3k^2+1)^2
那么： |AB|=√(xa-xb)^2+(ya-yb)^2
=√(k^2+1)*(xa-xb)^2
=√(k^2+1)*(36k^2-12m^2+12)/(3k^2+1)^2....................................(1)
因坐标原点O到直线l的距离为√3/2，所以：m^2/k^2+1=3/4,可得：m^2=3(k^2+1)/4...(2)
将(2)带入(1)得：|AB|=√3（9k^2+1)(k^2+1)/(3K^2+1)^2
=√3*（1+4k^2/(3K^2+1)^2)
≤2
S△AOBmax=1/2*|AB|*√3/2=1/2*2*√3/2=√3/2