Question

已知抛物线y=mx2-（m-5）x-5（m＞0）

与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=6．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线BC；
（3）若⊙P过A、B、C三点，求⊙P的半径；
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使△MBN被直线BC分成面积比为1：3的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
求第四问的图。
（3）若⊙P过A、B、C三点，求⊙O的半径；

Answer 1

：（1）由题意得：x1+x2= m-5/m，x1•x2= -5/m，x2-x1=6
则（x1+x2^2-4x1x2=36，（ m-5m^2+ 20m=36
解得：m1=1，m2=- 57．
经检验m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x^2+4x-5
或：由mx^2-（m-5）x-5=0得，x=1或x=- 5m
∵m＞0，
∴1- -5m=6，
∴m=1．
∴抛物线的解析式为y=x^2+4x-5
由x^2+4x-5=0得x1=-5，x2=1
∴A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则 {b=-5k+b=0
∴ {b=-5k=5
∴直线BC的解析式为y=5x-5；
(2)图略
（3）由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线y=x^2+4x-5的对称轴直线x=-2上，
设P（-2，-h）（h＞0），（6分）
连接PB、PC，则PB^2=（1+2^2+h^2，PC^2=（5-h^2+2^2，
由PB^2=PC^2，
即（1+2^2+h^2=（5-h^2+2^2，解得h=2．
∴P（-2，-2），
∴⊙P的半径PB= 根号下[(1+2)^2+2^2]= 13；
（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为（t，t^2+4t-5），则点E的坐标为（t，5t-5）．
若S△MEB：S△ENB=1：3，则ME：EN=1：3．
∴EN：MN=3：4，
∴t^2+4t-5= 43（5t-5）．
解得t1=1（不合题意舍去），t2= 53，
∴M（ 53，409）．
若S△MEB：S△ENB=3：1，则ME：EN=3：1．
∴EN：MN=1：4，
∴t^2+4t-5=4（5t-5）．
解得t3=1（不合题意舍去），t4=15，
∴M（15，280）．
∴存在点M，点M的坐标为（ 5/3，40/9）或（15，280）．

追问

求第四问的图。

追答

这个不好画，也不好弄。做这种题，一般都是把点坐标设出其中一个，然后表示另外的。最后列方程求出。注重的是计算。图倒是没好重要。（对了，上面第4问有个M(5/3,40/9)忘记打分数线了)