Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O题目不完整，请看下面，谢

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

Answer 1

(1)连结DO,则A0=DO，所以∠A=∠ADO.
因为∠A+∠CDB=90°,所以∠ADO+∠CDB=90°
所以∠ODB=90°，即直线BD与⊙O相切。
（2）连结DE，由题易得△ADE与△ACB相似，因为AD:AC=1:2，
所以DE:CB=1:2,因为BC=6，所以DE=3
又因为AD：AE=4：5，所以AD=4,AE=5，即⊙O的直径=5

Answer 2

解：（1）证明：连接OD，DE
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
又∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，
∴BD⊥OD，
∴BD是⊙O切线；