Question

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正

已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根，且A点坐标为（-6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：1），因为OB,OC是x²-10x+16=0的两根，且OB＜OC，所以OB=2,OC=8.。即B（2,0），C（0,8），因为A（-6,0），A,B,C都是抛物线上的点，所以抛物线的解析式可设为y=a(x+6)(x-2).把C点坐标代入，得a=-2/3,，函数的解析式为y=-2/3x²-8/3x+8；2），因为s△ABC=1/2ABOC=32，s△AEC=1/2AEOC=4m,由于EF∥AC所以△BEF∽△BAC， s△BEF/s△BAC=（BE/AB)²，=（8-m)²/64所以s△BEF=（8-m)²/2.。 所以S△CEF=s△ABC-s△AEC-S△EBF=-1/2m²+4m (-6≤m≤2）； 3），显然S=-1/2m²+4m=-1/2(m-4）²+8，当m=4是有最大值，其最大值为S=8..此时E（-2,0）。在△BCE中，EO=BO, OC⊥BE，所以△BCE是等腰三角形。

Answer 2

解：
由x²-10x+16=0解得两根为x1=2,x2=8.
由OB＜OC得，OB=2，OC=8。
则B、C两点坐标分别为B（2,0），C（0,8）
(1). 由A、B、C三点坐标解得该函数解析式为
y=-2/3x²-8/3x+8.
(2). 来晚了一步，后两步跟西山樵夫的解法一样，看他的答案就行，不再赘述。