Question

帮忙解决一道行列式的问题

设D为行列式，为：
1, 0，-3,7
0, 1, 2，1
-3，4,0,3
1，-2,2，-1
求：1）A11-2A12+2A13-A14
2)A11+A21+2A31+2A41

Answer 1

解: (1)作辅助行列式 D1=
1 -2 2 -1
0 1 2 1
-3 4 0 3
1 -2 2 -1
即用A11-2A12+2A13-A14的系数1,-2,2,-1替换原行列式的第1行.
一方面, 因为D1的1,4行相同, 所以 D1=0.
另一方面, 将D1按第1行展开得 D1=A11-2A12+2A13-A14.
所以 A11-2A12+2A13-A14 = 0.
由于 D1与D的第1行的元素的代数余子式相同
所以原行列式中也有 A11-2A12+2A13-A14=0.
(2)作辅助行列式 D2=
1 0 -3 7
1 1 2 1
2 4 0 3
2 -2 2 -1
= 144.
同样, D2按第1列展开得 D2=A11+A21+2A31+2A41.
所以 A11+A21+2A31+2A41=144.