Question

求问数学题

已知a>b,ab=1,则(a^2+b^2)/（a-b）的最小值是？我知道答案是2根号2，但为什么最后一步解是（a-b）+2/（a-b）>=2根号2，这2根号2是怎样来的？求详细讲解

Answer 1

这类题最好能记忆这种不等式，初中有很多常用不等式的。
a^2+b^2>=2ab 证明方法：(a-b)^2>=0 a^2+b^2>=2ab 当且仅当 a=b时取到最小值。
当然还有 a^3+b^3+c^3>=3abc 等等 楼主可以自行证明。
因此 这题用到了 (a-b)^2>=0的不等式规则
看到： (a^2+b^2)/(a-b)=(a^2+b^2-2ab+2ab)/(a-b)=(a-b)^2/(a-b)+2ab/(a-b)=(a-b)+2/(a-b)
因为 a〉b 所以 a-b>0 a-b可是是某个数的平方 于是 a-b 看成 A^2 行吧 2/(a-b) 看成 B^2
那么 A^2+B^2 >=2AB=2*（a-b）*根号2 /(a-b) =2根号2
当且仅当 (a-b)^2=2 a-b=根号2的情况
a-b=根号2 ab=1 于是 b=a-根号2 (a-根号2)a=1 a^2-a根2-1=0 可求得a同时也可求得b

Answer 2

有个公式 当m>0,n>o时，m+n>=2倍根号下mn 当m=n时取等
上题中 m n分别相当于（a-b）和 2/（a-b）