Question

设α，β为锐角，且a=﹙sinα，－cosα﹚，b=﹙－cosβ，sinβ﹚，a+b=﹙√6／6，√2／2﹚，

设α，β为锐角，且a=﹙sinα，－cosα﹚，b=﹙－cosβ，sinβ﹚，a+b=﹙√6／6，√2／2﹚，试求a·b和cos﹙α+β﹚的值

Answer 1

a+b=(sinα-cosβ, -cosα+sinβ)=(√6/6,√2/2)
sinα-cosβ=√6/6
-cosα+sinβ=√2/2
两式两边同时平方
sin²α+cos²β-2sinαcosβ=1/6
cos²α+sin²β-2cosαsinβ=1/2
两式相加，化简
2-2(sinαcosβ+cosαsinβ)=2/3
sinαcosβ+cosαsinβ=2/3
sin(α+β)=2/3
a·b=-sinαcosβ-cosαsinβ=-sin(α+β)=-2/3
0<α<90, 0<β<90
0<α+β<180
cos(α+β) = ± sqrt[1-sin²(α+β)] = ± sqrt[1-(2/3)²] = ±√5/3

Answer 2

a+b=﹙√6／6，√2／2﹚，
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
即：2/3=1+2ab+1
可得：ab=-2/3

ab=-2/3 可得：-sinαcosβ-cosαsinβ=-2/3
即：sin(α+β)=2/3
α，β为锐角 所以：0<α+β<180
可得：cos﹙α+β﹚=±√5/3