Question

在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=

如图（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）．试探究线段EF与EG的数量关系．

Answer 1

（1）如图（2），当m=1，n=1时，EF与EG的数量关系是EF=EG
（2）如图（3），当m=1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是 EF=N分之1EG
（3）如图（1），当m，n均为任意实数时，EF与EG的数量关系是 EF=MN分之1EG

Answer 2

图甲：连接DE，
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=AB，
∵AE=EC，
∴DE=AE=EC=AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．
（1）EF=EG；

（2）解：EF=EG．
证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴
即EM=CD，
同理可得，EN=AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴tanA=，
∴=，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴，
即EF=EG；

（3）EF=EG

Answer 3

证明：（1）如图1，连接DE，
∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=
12
AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=
12
AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∴∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．

（2）解：EF=1nEG，
证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴CD分之EM=
AC分之AE=n+1分之1，
即EM=n分之n+1CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴ENAD=
AC分之CE=n+1分之n
∴EN=n+1分之nAD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴AD分之CD=AC分之BC=1，
∴EN分之EM=1×n分之1=n分之1，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴EFEG=EMEN=1n，
即EF=1n分之EG；

（3）EF=1mn分之EG．

Answer 4

∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD= AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC= AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．
：EF= EG证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴
即EM= CD，
同理可得，EN= AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴tanA= ，
∴ ，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴ ，
即EF= EG；
）EF= EG

Answer 5

证明：（1）如图1，连接DE，
∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=0.5
AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=0.5
AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∴∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．
（2）解：EF=1除以n EG，
证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，

∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴
EM比
CD
=
AE比
AC
=
1比
n+1

即EM=
1比
n+1
CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴
EN
AD
=
CE 比
AC
=
n 比
n+1
∴EN=
n比
n+1
AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
CD 比
AD
=
BC 比
AC
=1，
∴
EM比
EN
=1×
1比
n
=
1比
n
，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴
EF比 EG= EM比EN=1比n
即EF=
1 比
n
EG；
（3）EF=
1比 mn 乘以 EG