Question

在RT△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的角平分线交BC于点O，以O为圆心做圆，⊙O与AC相切于点D。（1）试判断AB与

在RT△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的角平分线交BC于点O，以O为圆心做圆，⊙O与AC相切于点D。（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）在RT△ABC中，若AC=6，AB=3，求切线AD的长

Answer 1

1、由题可知，OD垂直于AC，AO是角平分线，故△ABC是等腰直角三角形，DA=DO。
由O做辅助线，与AB垂直相交于E，则四边形ADOE是矩形，由DA=DO，进一步推得四边形ADOE是正方形。则OD=OE，所以AB与⊙O相切。

2、△EBO和△ABC相似，则BE/AB=EO/AC，得到EO=2，ADOE是正方形，故AD=EO=2

Answer 2

(1)解：AB与⊙O相切
证明：过O点作OD⊥AC
过O点作AB的垂线交于E点
∵∠BAD＝90° AD为∠BAC的平分线
∴∠CAD＝∠BAO＝45°
又∵⊙O与AC相切于D点 ∴∠ADO=90°
∴∠DOA=45° ∴AD=OD
又∠AEO=90° ∴四边形ADOE为矩形
又AD=DO ∴四边形ADOE为正方形
∴半径OD=OE ∴AB与⊙O相切
(2)解∵∠BEO＝BAC=90° ∠B公用 ∴△BEO∽△BAC
∴﹙BE﹚/﹙AB﹚＝﹙EO﹚/﹙AC﹚ ∴﹙3-EO﹚/﹙3﹚＝﹙EO﹚/﹙6﹚
∴EO=2 又∵四边形ADOE为正方形 ∴AD=EO=2