Question

数学．在ABC中，角A.B.C的对边是a.b.c，已知sinC+cosC=1-sin（C/2）

（1）求sinC的值．（2）若【a平方+b平方=4（a+b）-8】，求c边的值．

Answer 1

1
sinC+cosC=1-sin（C/2）
2sin(C/2)cos(C/2)=2sin²(C/2)-sin（C/2)
∵sin(C/2)≠0
∴2cos(C/2)=2sin(C/2)-1
sin(C/2)-cos(C/2)=1/2
[sin(C/2)-cos(C/2)]^2=1/4
1-sinC=1/4,
sinC=3/4
2
∵a^2+b^=4（a+b）-8
∴(a-2)^2+(b-2)^2=0
∴a=2,b=2
∵sin(C/2)-cos(C/2)=1/2
∴[sin(C/2)+cos(C/2)]^2=1+3/4=7/4
∴sin(C/2)+cos(C/2)=√7/2
∴sin(C/2)=(√7+1)/4
∴cosC=1-sin(C/2)-sinC=1/4-sin(C/2)=-√7/4
∴c^2=a^2+b^2-2abcosC=8+2√7
∴c=1+√7

Answer 2

解：（1）sinC+cosC=1-sin（C/2）
2sin(C/2)cos(C/2)=2sin²(C/2)-sin（C/2)
∵sin(C/2)≠0
∴2cos(C/2)=2sin(C/2)-1
sin(C/2)-cos(C/2)=1/2
[sin(C/2)-cos(C/2)]^2=1/4
1-sinC=1/4,
sinC=3/4
（2）∵a^2+b^=4（a+b）-8
∴(a-2)^2+(b-2)^2=0
∴a=2,b=2
∵sin(C/2)-cos(C/2)=1/2
∴[sin(C/2)+cos(C/2)]^2=1+3/4=7/4
∴sin(C/2)+cos(C/2)=√7/2
∴sin(C/2)=(√7+1)/4
∴cosC=1-sin(C/2)-sinC=1/4-sin(C/2)=-√7/4
∴c^2=a^2+b^2-2abcosC=8+2√7
∴c=1+√7