Question

求解一道不等式证明

证明(b*a^4)+(c*b^4)+(d*c^4)+(a*d^4)≥abcd(a+b+c+d)（答案上用51元均值不等式把 bcd*a^2,cda*b^2,dab*c^2,abc*d^2化开后累加，但我不是很懂怎么来的）
解题方法不限，需要关键步骤和适当说明

Answer 1

原式
(b*a^4)+(c*b^4)+(d*c^4)+(a*d^4)≥abcd(a+b+c+d) ---(*)
经过观察可知，（*）中的变量具有对称性，即我们可以将其中的任意两个变量互换。因此上式与下面的五个式子等价。
将a与b互换得
a*b^4 + a^4*c + c^4*d + b*d^4 ≥ abcd(a+b+c+d) ---(1)
将a与d互换得
b^4*c + a*c^4 + a^4*d + b*d^4 ≥ abcd(a+b+c+d) ---(2)
将b与c互换得
a^4*c + b*c^4 + b^4*d + a*d^4 ≥ abcd(a+b+c+d) ---(3)
将b与d互换得
a*b^4 + b*c^4 + a^4*d + c*d^4 ≥ abcd(a+b+c+d) ---(4)
将c与d互换得
a^4*b + a*c^4 + b^4*d + c*d^4 ≥ abcd(a+b+c+d) ---(5)
因此（*）与(1)+(2)+(3)+(4)+(5)+3(*)等价。下面证明(1)+(2)+(3)+(4)+(5)+3(*)成立。
(1)+(2)+(3)+(4)+(5)+3(*)
=4 a^4 b + 2 a b^4 + 2 a^4 c + 4 b^4 c + 2 a c^4 + 2 b c^4 + 2 a^4 d +
2 b^4 d + 4 c^4 d + 4 a d^4 + 2 b d^4 + 2 c d^4
=(4 a^4 b + 2 b c^4 + 2 b d^4) + (4 b^4 c + 2 a^4 c + 2 c d^4)+
(4 c^4 d + 2 a^4 d + 2 b^4 d) + (4 a d^4 + 2 a b^4 + 2 a c^4)
≥ 8 abcd(a+b+c+d)
(每个括号的处理类似：利用基本不等式a^2+b^2≥2ab将后两项放缩，再将结果和第一项放缩)
因此原式成立。