Question

已知椭圆C中心在原点O，焦点在x轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点（1，3/2） 第一问：求椭圆C的标准方程

第二问：若斜率为1的直线L与椭圆交于不同两点A,B，求三角形AOB面积的最大值及此时直线L的方程
我是高二学生，希望步骤尽量完整一点，谢谢啦

Answer 1

1.设椭圆方程为x²/a² +y²/b² =1（a＞b＞0），c²=a²-b²（c＞0）
a=2c ∴b=根号3 *c ∴x²/4c² +y²/3c² =1
把点（1，3/2）代入方程 得c²=1 ∴椭圆标准方程为x²/4 +y²/3 =1
2.设L为y=x+m， A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，L交x轴于点C（-m，0）
y=x+m与x²/4 +y²/3 =1联立，消x得7y²/12 -my/2 +m²/4 -1=0 ，
由韦达定理得y1+y2=6m/7，y1*y2=（3m²-12）/7 。
|y1-y2|=根号（48/7-48m²/49）
S△AOB=0.5 |y1-y2|*|-m|
S²△AOB=0.25（48/7-48m²/49）*m²=-12m^4 /49 +12m²/7=-12/49（m²-7/2）²+3
当m²=7/2时，S²△AOBmax=3 ，S△AOB=根号3.
此时m=±根号14 /2 ∴y=x±根号14 /2

不清楚的地方欢迎追问~

追问

S△AOB=0.5 |y1-y2|*|-m|，这个|-m|是什么，

追答

按照我说的画个图。。|-m|=OC
S△AOB=S△AOC+S△BOC 都以OC为底，高之和为 |y1-y2|

追问

直线设的是y=x+m，那m不就是直线与坐标轴的纵截距么

追答

y=x+m与X轴交点为点C（-m，0）。与y轴交点为点D（0，m）。
用D也可以做S△AOB=S△AOD+S△BOD= 0.5 |x1-x2|*|m|（那就要在韦达定理前消y了）
-m是直线与坐标轴的横截距，两者不矛盾。。

Answer 2

(1)a=2c,a²=b²+c²所以a²=b²*4/3
设椭圆方程为3x²+4y²=m,代入点(1,3/2)坐标得：m=12
椭圆方程为x²/4 + y²/3 =1
(2)设AB与X轴交点为M(m,0)，则直线L方程为y=x-m,代入椭圆方程得：7x²-8mx+4m²-12=0
由韦达定理可知：x1+x2=8m/7,x1x2=(4m²-12)/7
△AOB面积S=|y1-y2|*|OM|/2=|(x1m)-(x2-m)|*|OM|/2=(|m|/2)*√[(x1+x1x2)²-4x1x2]
=(2√3/7)|m|√(7-m²)≥√3
当且仅当|m|=√(7-m²),即m=±√14/2时等号成立。此时直线L方程为y=x±√14/2