Question

积分∫（1/sinx）dx，区间为[-1，1]发散，请问为什么？

Answer 1

先求不定积分

∫1/sinx dx

=∫sinx/sin²xdx

=-∫1/sin²xdcosx

=-∫1/(1-cos²x)dcosx

=∫1/(cosx+1)(cosx-1)dcosx

=∫[1/(cosx-1)-1/(cosx+1)]/2dcosx

=[∫1/(cosx-1)dcosx-∫1/(cosx+1)dcosx]/2

=[∫1/(cosx-1)d(cosx-1)-∫1/(cosx+1)d(cosx+1)]/2

=(ln|cosx-1|-ln|cosx+1|)/2+C

=ln√|(cosx-1)/(cosx+1)|+C

=ln√|(cosx-1)²/(cosx+1)(cosx-1)|+C

=ln√|(cosx-1)²/(cos²x-1)|+C

=ln√|-(cosx-1)²/sin²x|+C

=ln|(cosx-1)/sinx|+C

=ln|tan(x/2)|+C

根据瑕积分的定义，可知x=0为瑕点

所以∫(-1，1)上的定积分

=∫(-1，ξ)+ ∫(ξ，1)，且ξ→0

所以原式

=lim ξ→0 ln|ξ|-lntan(1/2)+lntan(1/2)-ln|ξ|

=-∞-(-∞)

=不存在

∞不是一个数，不能进行运算，这个只能算出是不存在，但无法算出具体值，所以这个积分是发散的。

扩展资料：

常规收敛和绝对收敛是级数在传统意义下的两个可和法，这里只是出于完整性的考虑才加以讨论；严格来说，它们并不算是发散级数的可和法，这是因为只有当这些可和法失效时，我们才说一个级数发散。大部分发散级数的可和法都是这两个可和法在更大一类序列上的延拓。

级数的和

柯西对级数a0+a1+ ...的和的经典定义为部分和序列a0+ ... +an的极限。通过两个实数之间加法运算的定义，再依据数学归纳法，我们不难自然地定义出有限个实数间的加法。但是有限个实数间的加法有定义并不意味着我们能直接地导出级数的和的定义，因为此时我们并没有定义无限项相加的概念，只有借助极限进行额外定义才能明确级数的和的概念。

绝对收敛

给定收敛到s的收敛级数a，倘若任意置换级数a的项得到级数a′后，a′收敛也总是收敛到s，则称级数a是绝对收敛的。在这个定义之下可以证明，一个级数收敛当且仅当取它每一项绝对值后得到的新级数在经典意义下收敛。有些地方会将后者作为绝对收敛的定义，但由于不涉及绝对值的概念，所以前者的定义更有一般性。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

先求不定积分
∫1/sinx dx
=∫sinx/sin²xdx
=-∫1/sin²xdcosx
=-∫1/(1-cos²x)dcosx
=∫1/(cosx+1)(cosx-1)dcosx
=∫[1/(cosx-1)-1/(cosx+1)]/2dcosx
=[∫1/(cosx-1)dcosx-∫1/(cosx+1)dcosx]/2
=[∫1/(cosx-1)d(cosx-1)-∫1/(cosx+1)d(cosx+1)]/2
=(ln|cosx-1|-ln|cosx+1|)/2+C
=ln√|(cosx-1)/(cosx+1)|+C
=ln√|(cosx-1)²/(cosx+1)(cosx-1)|+C
=ln√|(cosx-1)²/(cos²x-1)|+C
=ln√|-(cosx-1)²/sin²x|+C
=ln|(cosx-1)/sinx|+C
=ln|tan(x/2)|+C
根据瑕积分的定义，可知x=0为瑕点
所以∫(-1，1)上的定积分
=∫(-1，ξ)+ ∫(ξ，1)，且ξ→0
所以原式
=lim ξ→0 ln|ξ|-lntan(1/2)+lntan(1/2)-ln|ξ|
=-∞-(-∞)
=不存在
∞不是一个数，不能进行运算，这个只能算出是不存在，但无法算出具体值，所以这个积分是发散的。或者说ln0本身就是无定义发散的，积分本身就是不存在的，两者不能进行加减运算。