Question

已知sinα+sinβ=根号2,cosα+cosβ=三分之根号二,求tan(α+β)的值，

Answer 1

∵sinα＋sinβ＝√2、cosα＋cosβ＝√2/3，
∴（sinα）^2＋2sinαsinβ＋（sinβ）^2＝2、（cosα）^2＋2cosαcosβ＋（cosβ）^2＝2/9。
两式相加，得：2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝20/9，∴1＋cos（α－β）＝10/9，
∴cos（α－β）＝1/9。

∵sinα＋sinβ＝√2、cosα＋cosβ＝√2/3，　∴（sinα＋sinβ）（cosα＋cosβ）＝2/3，
∴sinαcosα＋sinαcosβ＋cosαsinβ＋sinβcosβ＝2/3，
∴（1/2）sin2α＋（1/2）sin2β＋sin（α＋β）＝2/3，
∴sin（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）＝2/3，
∴（1/9）sin（α＋β）＋sin（α＋β）＝2/3，　∴（10/9）sin（α＋β）＝2/3，
∴sin（α＋β）＝3/5，
∴cos（α＋β）＝±√｛1－［sin（α＋β）］^2｝＝±√（1－9/25）＝±4/5。
∴tan（α＋β）＝sin（α＋β）/cos（α＋β）＝（3/5）/（±4/5）＝±3/4。
即：满足条件的tan（α＋β）的值为3/4或－3/4。