Question

一道高一数学题，求详解过程，急、、、！！！！！！

二次函数y=x2-x-6与坐标轴交与A、B、C三点(xA<xB<xC),圆M为△ABC的外接圆,斜率为1的直线l与圆M相交于不同两点E、F，以E、F为直径的圆经过原点O。（1）求圆M的方程 （2）求直线l的方程

Answer 1

(1)
y=(x-3)(x+2)
A(-2,0), B(0,6), C(3,0)
外接圆方程为 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，将ABC坐标代入
(a+2)^2+b^2=a^2+(6-b)^2=(3-a)^2+b^2=r^2
解得，a=1/2, b=5/2,r=根号2*5/2
所以M方程为：(x-1/2)^2+(y-5/2)^2=50/4
(2)、
直线方程为y=x+b
分别将y=x+b和 x=y-b分别代入M的方程展开，取得各项的系数，
因为二次方程x1+x2= - b/2a
由此可得x1+x2和y1+y2，由此可计算得EF的长度，和圆心坐标
因以E、F为直径的圆经过原点O，所以EF/2=圆心和原点的距离由此得出b
最后得到直线l的方程
应该还有更巧的方法做的，多年不摸书了，园的一些性质及公式记不清了，就给你个最笨的方法，肯定能算出来。

追问

分别将y=x+b和 x=y-b分别代入M的方程展开，取得各项的系数，
为什么啊 二次方程x1+x2= - b/2a这个公式错了

追答

这样的，你分别代入M的方程取得以X为变量的方程和以Y为变量的方程，利用韦达定理就能得到
x1+x2的值，以及y1+y2的值，方程就不用解了，得出系数即可。
至于求根公式：
x1,2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，你看，x1+x2，根号里的全没了，剩下的不就是-b/2a 吗？

追问

x1+x2=-b/a我们学过的

追答

恩，是我弄错了，求根公式相加，分子是变2b，就和分母的2约掉了是-b/a，对的，
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刚琢磨了下，这题里还个小弯子，就是如何求EF的长度，也用到韦达定理：
这里需要求(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=EF^2
这个要用到(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2，这样转换，
这题是有点复杂。
刚发现我犯了个错，B的坐标是(0,-6)，不好意思啊，可能我算的M的方程就不对了，我算下看
M的方程里b=-5/2，变了个符号，a和r都是对的，
M的方程为：(x-1/2)^2+(y+5/2)^2=50/4
附个大致的图

Answer 2

令y=x2-x-6中x=0得y=-6,令y=0得x=-2或x=3因为xA<xB<xC所以A(-2,0),B(0，-6),C(3,0),
设圆M的一般方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,因为圆M过A,B,C,三点，所以将三点坐标代入方程可得D=-1，F=-6，E=5，圆M方程为x^2+y^2-x+5y-6=0,
设直线L的方程为y=x+b,E(x1,y1)F(x2,y2)y1=x1+b,y2=x2+b,y1*y2=x1*x2+b(x1+x2)+b^2(*),
把直线L的方程代入圆M的方程消去y,得2x^2+(2b+4)x+b^2+5b-6=0,
由韦达定理得x1+x2=-b-2,x1*x2=(b^2+5b-6)/2(**)
由三角形EFO为直角三角形且OE垂直OF得x1x2+y1y2=0,
将y1*y2=x1*x2+b(x1+x2)+b^2(*)和x1+x2=-b-2,x1*x2=(b^2+5b-6)/2(**)都代入上式可以建立关于b的一元二次方程，求解出b后代入直线L的方程y=x+b即可完成。