Question

已知如图,抛物线y=a(x+1)2+c于y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为（2,0）

（1）求该抛物线的解析式
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PD∥BC,交AC于点D，连接CP。当△CPD的面积最大时，求点P的坐标
（3）若平行于X轴的动直线l与该轴交于点Q，于直线BC交于点F,点M的坐标为（-2，0）
问：是否存在这样的直线l，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）将（0，-4）（2，0）代入抛物线方程y=a(x+1)^2+c，即a+c=-4,9a+c=0
所以a=1/2，c=-9/2
所以解析式为y=1/2 (x+1)^2 -9/2
（2）方程1/2 (x+1)^2 -9/2=0可化简为(x+1)^2=9，其解为x1=2，x2=-4，所以B（-4,0）
AB=2-（-4）=6
设P点坐标为（x，0）【由于P在线段AB上，故-4≤x≤2】
则AP=2-x
设AP/AB=(2-x)/6=k
由于PD//BC，所以三角形APD相似于三角形ABC，
所以AP/AB=AD/AC=k ①⑤
且S△APD/S△ABC=k^2 ②
过P做PH垂直于AC，垂足为H
所以S△APD=1/2PH*AD，而S△CPD=1/2PH*CD=S△APD*（CD/AD）③
由①可知，AD/(AD+CD)=k，所以（AD+CD）/AD=1/k，则CD/AD=1/k-1 ④
将②④代入③得，S△CPD=(k^2)S△ABC*(1/k-1)

设原点为O，由于C（0，-4），则OC=4，那么S△ABC=1/2AB*OC=1/2*6*4=12
代入⑤，S△CPD=12(k^2)*(1/k-1)=12k^2[(1-k)/k])=12k(1-k)
根据上面假设AP/AB=(2-x)/6=k，代入上式可得，
S△CPD=12[(2-x)/6][1-(2-x)/6]=(1/3)*(2-x)(x+4)=(1/3)(-x^2-2x+8)=(1/3)[-(x+1)^2+9]
当x=-1时，S△CPD为最大值，此时S△CPD=1/3*9=3

21.解：（1）∵点A的坐标为（2,0）点C(0,-4)
得：a+c=-4,9a+c=0
∴a=0.5,c=-4.5
∴求抛物线的解析式y=0.5(x+1)^2-4.5
（2）有（1）知抛物线的对称轴为：x=-1
∴点B的坐标为（-4,0）
∴直线BC的解析式为：y=-x-4
直线AC的解析式为：y=2x-4
∵点P是AB上的动点，过点P做PD∥BC，
则设直线PD的解析式为：y=-x+a
又∵OB=OC, PD∥BC
∴点P的坐标为（a，0）（-4＜a＜2）
则：y=-x+a，y=2x-4联立成方程组，
解得：x=4+a/3,y=2a-4/3
∵S△CPD= S△CPA -S△APD=0.5×（2-a）×4-0.5×（2-a）×4-2a/3
∴S△CPD=-1/3（a+1）^2+3
∴当△CPD的面积最大时，a=-1
此时点P的坐标为（-1,0）。
（3）
当MF=MO时，MF=MO=2，则点F的坐标为(-2,-2)
∴0.5(x+1)^2-4.5=-2
解得：x=±√5-1
当MF=FO时，则点F的坐标为(-1,-3)
∴0.5(x+1)^2-4.5=-3
解得：x=±√3-1
当MF=FO（不存在）
∴点Q的坐标为（√5-1，-2）、（-√5-1，-2）、（√3-1，-3）、（-√3-1，-3）。

Answer 2

第一题y=1/2[x+1]2-9/2