Question

求当n趋近于无穷时，n[ln(n-1)-lnn]的极限

Answer 1

n→∞,lim n[ln(n-1)-lnn]=lim n*[ln(n-1/n)]=lim [ln(1-1/n)^n]，因为函数f(x)=ln x 连续，所以归结得：lim [ln(1-1/n)^n]=ln [lim(1+1/-n)^n]。

而：lim(1+1/-n)^n=lim(1+1/-n)^-(-n)=e^-1，故：原式=ln e^-1=-1。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。

“变”与“不变”反映了事物运动变化，与相对静止，两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，物理学，求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法无法解决，困难在于变速直线运动的瞬时速度是变量不是常量。

Answer 2

n→∞,lim n[ln(n-1)-lnn]=lim n*[ln(n-1/n)]=lim [ln(1-1/n)^n]
因为函数f(x)=ln x 连续，所以归结得：lim [ln(1-1/n)^n]=ln [lim(1+1/-n)^n]
而：lim(1+1/-n)^n=lim(1+1/-n)^-(-n)=e^-1
故：原式=ln e^-1=-1
即：n→∞,lim n[ln(n-1)-lnn]=-1
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