Question

高数重积分

Answer 1

两问都是直接利用提示中的不等式来证明
(1) (∫[a->b]|fn(t)g(t)|dt)²≤∫[a->b]|fn(t)|²dt·∫[a->b]|g(t)|²dt
令b->﹢∞,可知∫[a->+∞]|fn(t)g(t)|dt收敛,即
∫[a->+∞]fn(t)g(t)dt绝对收敛
同理∫[a->+∞]f(t)g(t)dt也绝对收敛
(2) |Fn(x)-∫[a->x]f(t)g(t)dt|=|∫[a->x]fn(t)g(t)dt-∫[a->x]f(t)g(t)dt|
=|∫[a->x](fn(t)-f(t))g(t)dt|≤√(∫[a->x]|fn(t)-f(t)|²dt)·√(∫[a->x]|g(t)|²dt)
因为上面两个被积函数|fn(t)-f(t)|²和|g(t)|²为非负,所以
上式≤√(∫[a->+∞]|fn(t)-f(t)|²dt)·√(∫[a->+∞]|g(t)|²dt)
令n->∞,∵∫[a->+∞]|g(t)|²dt是常数,∫[a->+∞]|fn(t)-f(t)|²dt->0
∴上式极限为0,即有lim[n->∞] |Fn(x)-∫[a->x]f(t)g(t)dt|=0,对任意x≥a成立
∴Fn(x)一致收敛到∫[a->x]f(t)g(t)dt