Question

急求解！！！ 已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),且AC,BC所在直线的斜率之积为m

（1）求顶点c的轨迹
（2）当m=2时，记顶点c的轨迹为L,过点M（1,1）能否存在一条直线l，使l与曲线L交于E，F两点，且M为线段EF的中点，若存在求直线l的方程，若不存在说明理由

Answer 1

(1) 以线段AB的中点为原点，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设点C（x,y）
则 [y/(x+1)]·[y/(x-1)]=m
即 mx²－y²=m
∵A、B、C三点不共线，∴m≠0 , ∴方程可变为：x²－y²/m=1
当m<-1时，方程表示椭圆，焦点在x轴上
当-1<m<0时，方程表示椭圆，焦点在y轴上
当m= -1时，方程表示圆
当m>0时，方程表示双曲线，焦点在x轴上（其中当m=1时，是等轴双曲线）
（2）∵m=2 >0
∴ C点轨迹为双曲线L：x²－y²/2=1 即2x²－y²=2
假设所求直线I 存在，设E（x1,y1) , F(x2,y2)
得方程组：2·x1²－y1²=2 ……①
2·x2²－y2²=2 ……②
x1+x2=2 ……③
y1+y2=2 ……④
①－②： 2·（x1＋x2)(x1－x2)－(y1+y2)(y1－y2)=0
③④代入：4（x1－x2)－2(y1－y2)=0
∴ (y1－y2)/(x1－x1)=2
即斜率K=2
∴ 满足条件的直线存在：y－1=2(x－1)

Answer 2

1.设C（X，Y）根据AC BC两者斜率之积为M 则(Y/(X+1))*(Y/(X-1))=M 则M(X^2-1)=Y^2.
2.假设存在直线Y=A*X+B使之成立，则A+B＝1
由M(X^2-1)=Y^2与Y=A*X+1-A联立方程得（A^2-2）X^2+2*(A-A^2)X+A^2-2A+3=0
M是EF的中点 则（X1+X2）/2=1
而(X1+X2)/2为该方程抛物线顶点的横坐标，即-（2A-2A^2）/2(A^2-2)=1
所以A＝2 B＝-1