Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动。

1）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值；2）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为 45°

Answer 1

1、连结A1D，交AD1于F，
∵AD=AA1，
∴矩形ADD1A1是正方形，
∴A1D⊥AD1，
∵AB⊥平面ADD1A1，
A1D∈平面ADD1A1，
∴AB⊥A1D，
∵AB∩AD1=A，
∴A1D⊥平面ABD1，
∵D1E∈平面ABD1，
∴D1E⊥A1D。
2、在底面矩形ABCD中，连结DE、CE，
AE=BE=1=AD=BC，
∴△ADE和△BEC都是等腰RT△，
∴〈AED=〈BEC=45°，
∴〈DEC=180°-45°-45°=90°，
即DE⊥CE，
∵DD1⊥平面ABCD，
BC∈平面ABCD，
∴DD1⊥CD，
∵DD1∩DE=D，
∴CE⊥平面DD1E，
∵D1E∈平面D1DE，
∴CE⊥D1E，
∴〈D1ED是二面角D1-EC-D的平面角，
根据勾股定理，
DE=√2，，
D1E=√（DD1^2+DE^2)=√3，
∴cos<DED1=DE/D1E=√2/√3=√6/3,
∴二面角D1-EC-D的余弦值为√6/3。
S△BCE=BE*BC/2=1*1/2=1/2，
∴VB1-BEC=S△BCE*BB1/3=1/6，
B1E=√2，
B1C=√2，
∴B1E=B1C，
CE=√2，
△B1EC是正△，
S△B1EC=（√3/4）*（√2）^2=√3/2，
设B至平面ECB1距离为d,
VB-ECB1=S△ECB1*d/3=√3d/6，
VB1-BEC=VB-ECB1，
1/6=√3d/6，
∴d=√3/3，
∴点B到平面ECB1的距离为√3/3。

Answer 2

碰到这种题先考虑空间直角坐标系，一般都可以解答出来。试试吧？