Question

在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF. 1.证明CE=DF；2.连接AC交EF 于点O，延长OC至点M，

使OM=OA,连接EM、FM.试判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明

Answer 1

1）在直角三角形ABE和直角三角形ADF中

  ∵AE=AF，AB=AD

∴直角三角形ABE≌直角三角形ADF

∴BE=DF

∵BC=CD

∴CE=BC-BE=CD-DF=CF

2)

∵CE=CF

∴三角形CEF是等腰直角三角形

∵AC是正方形ABCD的对角线

∴AC是<ECF 的角平分线

∴AC是EF的垂直平分线

∵M在EF的垂直平分线上

∴EM=FM

∵在直角三角形AOE和直角三角形MOE中

OA=OM  OE=OF

∴直角三角形AOE≌直角三角形MOE

∴AE=ME

∴AE=AF=ME=MF

四边形AEMF是菱形

Answer 2

1.是证CE=CF吧？

证明：连AC,∠ACE=∠ACF=45°

AE=AF  AC=AC

∠AEC>∠B=90°  ∠AFC>∠D=90°

△ACE≅△ACF(是钝角三角形啊，不要说SSA不好用啊)

∴CE=CF

2.由△ACE≅△ACF

∠OAE=∠OAF   AE=AF

∴AO是EF的中垂线(等腰三角形顶角平分线垂直平分底边)

又OM=OA

∴AM、EF互相垂直平分

∴四边形AEMF是菱形。

(对角线互相垂直平分的四边形是菱形)

Answer 3

1. 直角三角形ABE全等于ADF（边边），则角BAE＝角DAF，故角CAE＝角CAF，因此三角形CAE全等于三角形CAF（边角边），CE=DF得证
2. 同理可证，三角形AOE全等于三角形AOF，则角AOE＝角AOF＝90度，相应地角FOM＝角EOM＝90度。由于OA=OM，故三角形AOF全等于三角形MOF（边角边），相应地三角形AOF、MOF、MOE、AOE都全等，即AE=AF=ME=MF，AEMF是一菱形。

Answer 4

OI