Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3,0），一条渐近线的方程是根号5X-2Y=0.

若以K（K不=0）为斜率的L与双曲线C相交于两个不同的点M、N，切线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81/2，求K的取值范围。

Answer 1

设双曲线方程为（5x)^2-(2y)^2=m(m>0),
∴m/25+m/4=9,m=900/29.
∴双曲线方程为25x^2-4y^2=900/29.
把y=kx+b代入上式得
（25-4k^2)x^2-8bkx-4b^2-900/29=0,
△/4=16b^2k^2+(25-4k^2)(4b^2+900/29)
=100b^2+22500/29-3600k^2/29>0,
b^2>9(4k^2-25)/29.①
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
x1+x2=8bk/(25-4k^2),
MN中点坐标：x=4bk/(25-4k^2),y=25b/(25-4k^2),
线段MN的垂直平分线方程为y-25b/(25-4k^2)=(-1/k)[x-4bk/(25-4k^2)],
它交x轴于点A(29bk/(25-4k^2),0),交y轴于B(0,29b/(25-4k^2)),
△OAB面积=（1/2)(29b)^2|k|/(25-4k^2)^2=81/2,
841b^2|k|=81(25-4k^2)^2,
b^2=81(25-4k^2)^2/(841|k|)②
把②代入①，得
9(25-4k^2)^2>29|k|(4k^2-25),
(4k^2-25)[36k^2-29|k|-225]>0,
(|k|-5/2)(|k|+5/2)[|k|-(29+√33241）/72][|k|-(29-√33241）/72]>0,
解得0<|k|<5/2或|k|>(29+√33241）/72，
∴0<k<2/5或-5/2<k<0,或k>(29+√33241）/72或k<-(29+√33241）/72.

Answer 2

设双曲线方程为（5x)^2-(2y)^2=m(m>0),
∴m/25+m/4=9,m=900/29.
∴双曲线方程为x^2/4-y^2/5=1
（25-4k^2)x^2-8bkx-4b^2-900/29=0,
△/4=16b^2k^2+(25-4k^2)(4b^2+900/29)
=100b^2+22500/29-3600k^2/29>0,
b^2>9(4k^2-25)/29.①
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
x1+x2=8bk/(25-4k^2),
MN中点坐标：x=4bk/(25-4k^2),y=25b/(25-4k^2),
线段MN的垂直平分线方程为y-25b/(25-4k^2)=(-1/k)[x-4bk/(25-4k^2)],
它交x轴于点A(29bk/(25-4k^2),0),交y轴于B(0,29b/(25-4k^2)),
△OAB面积=（1/2)(29b)^2|k|/(25-4k^2)^2=81/2,
841b^2|k|=81(25-4k^2)^2,
b^2=81(25-4k^2)^2/(841|k|)②
把②代入①，得
9(25-4k^2)^2>29|k|(4k^2-25),
(4k^2-25)[36k^2-29|k|-225]>0,
(|k|-5/2)(|k|+5/2)[|k|-(29+√33241）/72][|k|-(29-√33241）/72]>0,
解得0<|k|<5/2或|k|>(29+√33241）/72，
∴0<k<2/5或-5/2<k<0,或k>(29+√33241）/72或k<-(29+√33241）/72.