Question

已知圆C的方程为x^2+y^2-2x-4y+m=0，若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M，N两点且OM⊥ON，

求m的值和以MN为直径的圆的方程。 （重点第二问！）

Answer 1

x^2+y^2-2x-4y+m=0和x+2y-4=0联立得5y^2-16y+m+8=0
利用韦达定理y1+y2=16/5
y1*y2=(8+m)/5
利用直线方程x1*x2=(4-2y1)*(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1*y2=4m/5-16/5
又OM⊥ON所以x1*x2+y1*y2=4m/5-16/5+(8+m)/5=m-8/5=0 所以m=8/5
2.以MN为直径的圆的圆心为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)利用前面结果算出为(4/5,8/5).
下算直径圆C的圆心(1,2)到直线L的距离d=(1-4+4)/√5=1/√5，圆C半径平方为5-m=17/5,所以所求圆的半径平方=17/5-(1/√5)^2=16/5
所以圆方程为(x-4/5)^2+(y-8/5)^2=16/5

Answer 2

.解：⒈设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）
∵OM⊥ON
∴x₁x₂+y₁y₂=0…………①
联立两方程式，消y，由韦达定理得
5x²-24x+48+4m=0
x₁x₂=（48+4m）／5
由纵横坐标变换
y₁y₂=﹙x₁－4﹚﹙χ₂－4﹚／4=χ₁χ₂／4－﹙χ₁＋χ₂﹚＋4
由韦达定理
x₁+x₂=24／5
则y₁y₂=·······
由①式得m=…………
⒉由第一问求得圆方程式，设C半径R，以MN为直径圆半径r
∵OM⊥ON
∴r=√2R
圆心坐标﹙﹙x₁+x₂﹚／2，﹙y₁+y₂﹚／2﹚
由韦达定理及圆标准方程，带入圆心及半径即可
（我不想算了，抱歉！）