Question

已知向量m=(2sinx,cosx-sinx),向量n=(根号3cosx,cosx+sinx),函数f(x)=向量m*向量n

.(1)求f(x)的最小正周期和值域；（2）在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f(A/2)=2且a^2=bc,试判断三角形ABC的形状

Answer 1

(1),f(x)=向量m·向量n=2sinx·√3cosx+(cosx-sinx)(cosx+sinx)
=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+30°)
所以f(x)的最小正周期为T=2π/2=π，值域为 [-2,2]
(2).f(A/2)=2，即2sin(A+30°)=2，所以 sin(A+30°)=1，而A为三角形内角，故A=60°
由余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*cos60°，即 a^2=b^2+c^2-bc.
又因为a^2=bc，所以bc=b^2+c^2-bc，即(b-c)^2=0.所以 b=c，结合A=60°
故三角形ABC的形状是等边三角形。