Question

已知直线l：x+y=9，椭圆C：x^2/25+y^2/16=1,在l上取一点P，以椭圆的焦点为焦点，过P作另一椭圆，问：

P在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出这个椭圆的方程。

Answer 1

已知椭圆的c^2=9,c=3
设所求椭圆为：x^2/a^2+y^2/(a^2-9)=1,与直线x+y=9联立方程组，并把直线代人椭圆方程：
得：x^2/a^2+(9-x)^2/(a^2-9)=1
化简整理：
（2a^2-9）x^2-18a^2x+90a^2-a^4=0
由于以上方程有根，所以判别式≥0
⊿=324a^4-4(2a^2-9)(90a^2-a^4)≥0
即：a^4-54a^2+405≥0(其中a为正数，因而两边除以a^2)
(a^2-45)(a^2-9)≥0
a^2≥45,a^2≥9(舍去)
所以：a≥3√5.
a的最小值为3√5.
当a=3√5时。⊿=0，方程有等根，
把a=3√5代人原方程：
x^2-10x+25=0
x=5,y=4,P(5,4)
即点P(5,4)时，所作椭圆的长轴最短为6√5.
椭圆方程：
x^2/45+y^2/36=1