Question

高一数学圆与方程一小题

一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x上截得的弦长为2乘根号7，求此圆的方程

详细点 ，感谢。

Answer 1

∵一圆与y轴相切 ∴圆心到y轴的距离等于圆的半径
设圆的方程：(x－a)²＋(y－b)²＝a²
∵圆心在直线x-3y=0上 ∴b＝a/3 ∴(x－a)²＋(y－a/3)²＝a²
设圆与y＝x交于点(x1,y1)(x2,y2),则截得的弦长＝√[(x1－x2)²＋(y1－y2)²]
∵y1＝x1 y2＝x2 ∴截得的弦长＝√2 |x1－x2|
∴(x－a)²＋(x－a/3)²＝a² 即 18x²－24ax＋a²＝0
∴x1＋x2＝4a/3 x1x2＝a²/18 ∴|x＝1－x2|²＝(x1＋x2)²－4x1x1
∴2×[(4a/3)²－4×a²/18]＝4×7 解得：a＝±3
∴圆的方程：(x－3)²＋(y－1)²＝9 或 (x＋3)²＋(y＋1)²＝9

Answer 2

设圆的标准方程为（x-a)^2+(y-b)^2=r^2,用待定系数法建立方程组，求出a,b,r的值即可。
方程1由圆心（a,b)在直线x-3y=0上得a-3b=0,方程2由圆与y轴相切得r^2=a^2,方程3由圆心到y=x的距离，半弦长根号7，圆的半径构成的直角三角形满足勾股定理得（a-b)^2/2+7=a^2.解方程组可得a=3,b=1,r=3或者a=-3,b=-1,r=3,最后代入开始设的圆的标准方程即可。