Question

如图，已知⊙O的半径为4，A为⊙O外一点，OA＝8，P为⊙O上的一个动点，以AP为边作 等边△APQ，则OQ的 .

如图，已知⊙O的半径为4，A为⊙O外一点，OA＝8，P为⊙O上的一个动点，以AP为边作等边△APQ，则线段OQ的取值范围是 .

Answer 1

复数法。
以O为原点，OA为实轴建立复平面。则A:8，P:4(cosu+isinu),
AP:4(cosu+isinu)-8,
AQ:[4(cosu+isinu)-8][cos(-π/3）+isin(-π/3)]
OQ=OA+AQ:[4(cosu+isinu)-8][cos(-π/3）+isin(-π/3)]+8
=[4cosu-8+4isinu][1/2-√3i/2]+8
=2cosu+4+2√3sinu+i[√3(4-2cosu)+2sinu],
∴OQ^2=[2cosu+4+2√3sinu]^2+[√3(4-2cosu)+2sinu]^2
=4+(4+2√3sinu)^2+4cosu(4+2√3sinu)
+3(4-2cosu)^2+4√3sinu(4-2cosu)
=20+16√3sinu+12sin^u+16cosu+8√3sinucosu
+48-48cosu+12cos^u+16√3sinu-8√3sinucosu
=80+32(√3sinu-cosu)
=80+64sin(u-π/6),
其值域是[16,144],
∴|OQ|的取值范围是[4,12],为所求。

Answer 2

[ 4倍根号3，4倍根号7 ]

Answer 3

4根号三到6根号三