Question

BD是⊙O的直径，四边形ABCD是⊙O的内接四边形且⌒AB＝⌒AC,AH⊥BD于点H,延CD至点E

BD是⊙O的直径，四边形ABCD是⊙O的内接四边形且⌒AB＝⌒AC,AH⊥BD于点H,延CD至点E求证1.∠ADE＝∠ADB 2.BH＝HD＋CD

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Answer 1

证明：
1）因为：角ADE是三角形ACD的外角
所以：角ADE=角DAC+角DCA
又因为：角ACD和角ABD对的弧度相同，
所以：角ACD=角ABD，
同理：角DAC=角DBC，
所以：角ADE=角DAC+角DCA=角DBC+角ABD=角ABC
又因为：⌒AB＝⌒AC
所以：角ABC=角ADB
所以：角ADB=角ADE
2）过A作AF⊥CE于F，∵∠ADE=∠ADB，AH⊥BD，
∴AF=AH，又∠ABD=∠ACD，
∴RTΔABH≌RTΔAFC，∴BH=CF，
又RTΔADF≌RTΔADH(HL)，∴DF=DH，
∴BH=CD+DH。

Answer 2

⑴∵∠ADE+∠ADC=180°=∠ADC+∠ABC，∴∠ADE=∠ABC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB，∴∠ADE=∠ADB，
⑵过A作AF⊥CE于F，∵∠ADE=∠ADB，AH⊥BD，
∴AF=AH，又∠ABD=∠ACD，
∴RTΔABH≌RTΔAFC，∴BH=CF，
又RTΔADF≌RTΔADH(HL)，∴DF=DH，
∴BH=CD+DH。

Answer 3

一、连接AO,OC 因为AB=AC 所以<ABC=<ACB
因为AO=BO=OC 所以可推得<BAC=2<ABD
<BAC+<ABC*2=180=2(<ABD+<ADB)
2<ABD+<ABC*2=2(<ABD+<ADB)
所以<ABC=<ADB=<ACB
因为<ADE+<ADC=180=<ADC+<ABC
所以<ADE=<ABC
所以<ADE=<ADB
二、过A作AF垂直CE于F，因为∠ADE=∠ADB，AH⊥BD，
所以AF=AH，又∠ABD=∠ACD，
所RTΔABH全等RTΔAFC，所以BH=CF，
又RTΔADF≌RTΔADH(HL)，所以DF=DH，
所以BH=CD+DH。