Question

把数A分成几个连续数之和，共有8种分法，求整数A？

Answer 1

适合小学生的解题步骤
《小学奥数五年级下册》——因数个数与因数的和
因为整数A有很多个，所以题目因该是求最小的。

此题涉及的知识点:
①一个整数有N个奇因数，就有(N-1)种拆分成连续自然数相加的形式。比如:9有1、3、9三个质因数，那么9有两种拆分成连续自然数相加的形式，分别是4+5和2+3+4两种。
②任何一个合数N可以分解质因数:N=a^b×c^d……×h^g，N的因数个数就是:(b+1）×(d+1)× …… ×(g+1)。(b，d，g是指数)。比如360=3²×2³×5，因数个数共有(2+1)×(3+1)×(1+1)=24(个)。

解析:有8种分法，则A有8+1=9个奇因数，奇因数的个数是几个数的乘积，所以可以考虑将9分解质因数，即9=1×9=（8+1）或9=3×3=（2+1）×（2+1）（注意与知识点②联系起来），想要A最小，那么组成A的质因数要尽可能小且全是奇数。

解：
9=1×9时，A=3^8=6561
9=3×3=（2+1）×（2+1）时，A=3²×5²=225
因为225<6561，所以6561舍去。
答：A最小是225。

Answer 2

设整数A分成2个连续自然数之和，则A=2n-1;①
设整数A分成3个连续自然数之和，则A=3m；②
设整数A分成4个连续自然数p-1,p,p+1,p+2之和,则A=4p+2；③
③与①矛盾。
设整数A分成5个连续自然数之和，则A=5p.④
设整数A分成6个连续自然数p-2,p-1,p,p+1,p+2,p+3之和,则A=6p+3;⑤<==①②。
设整数A分成7个连续自然数和,则7|A；
设整数A分成8个连续自然数p-3,p-2,p-1,p,p+1,p+2,p+3,p+4之和,则A=8p+4与①矛盾；
设整数A分成9个连续自然数之和,则9|A；==>②
设整数A分成10个连续自然数p-4,p-3,p-2,p-1,p,p+1,p+2,p+3,p+4,p+5之和,则A=10p+5;<==①④。
设整数A分成11个连续自然数之和,则11|A.
综上，A需能分成2,3,5,6,7,9,10,11个连续自然数之和，
<==>5,7,9,11整除奇数A，
<==>A=3465(2n-1),n为正整数。