Question

高中数学。函数f(x)=(ax+1)/(x+2)(a为常数），在（-2,2）内为增函数，则实数a的取值范围是？求详解。

Answer 1

解：f'(x)=[(ax+1)'(x+2)-(x+2)'(ax+1)]/(x+2)^2
=a/(x+2)^2
∵f(x)在（-2,2）内为增函数,
∴y'=a/(x+2)^2≥0在x∈(-2,2)上恒成立
解不等式a/(x+2)^2≥0得a≥0
∴实数a的取值范围是a≥0

Answer 2

f(x)=a+(1-2a)/(x+2)
a是常数，不用考虑，我们知道1/(x+2)在(-2,正无穷）内为减函数
要是f(x)在(-2,正无穷）内为增函数，(1-2a)必须是负的，
1-2a<0，所以a>1/2

Answer 3

之前那个人错了。
f(x)=(ax+1)/(x+2）=[a(x+2)-2a+1]/(x+2)
=a+(1-2a)/(x+2) 是增函数
而1/(x+2)是减函数， 所以1-2a<0，则 a>1/2

Answer 4

f(x)=(ax+1)/(x+2）=[a(x+2)-2a-1]/(x+2)
=a-(2a+1)/(x+2) 是增函数
所以 （2a+1)/(x+2)是减函数
所以2a+1>0 a>-1/2

追问

为什么是减函数就要2a+1>0

追答

因为1/(x+2)显然是一个减函数（在定义域内）
所以2a+1就必须大于0 才能使得(2a+1)/(x+2)是减函数。
另外楼下的做法：
f'(x)=[(ax+1)'(x+2)-(x+2)'(ax+1)]/(x+2)²=[[a(x+2)-(ax+1)]/(x+2)^2>0
所以还是2a-1>0 楼下似乎算错了