Question

高中数学双曲线问题。

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为根号3/2，其中A（0，-b），B（a,0)。设F是双曲线的右焦点，直线L过点F且与双曲线的右支交与不同的两点P,Q，点M位线段PQ的中点，若点M在直线X=-2上的射影为N，满足向量PN*QN=0,且PQ的决对值=10 求直线L的方程。

Answer 1

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为根号3/2，其中A（0，-b），B（a,0)。设F是双曲线的右焦点，直线L过点F且与双曲线的右支交与不同的两点P,Q，点M位线段PQ的中点，若点M在直线X=-2上的射影为N，满足向量PN*QN=0,且PQ的决对值=10 求直线L的方程。
【解】先用条件：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为根号3/2，其中A（0，-b），B（a,0)。确定双曲线方程
设直线AB方程为：y=kx+m
由于坐标原点到直线AB的距离为根号3/2，得：|m|/√(1+k^2)=√3/2，即：4m^2=3+3k^2
由双曲线几何性质：c=2a，b=√3a
所以：A（0，-√3a），B（a,0)，代入直线AB方程中得：-√3a =m 和-ka=m，由于a不为0，所以k=-√3， m=正负√3， 这里由于a>0，b>0所以m=√3不合题意，舍去
直线AB方程为：y=-√3x-√3
如此结合其中A（0，-b），B（a,0)。求得a=1 ，b=√3
所以双曲线方程为：x^2-y^2/3=1，其右焦点F坐标为（2，0）
下面设直线L方程为： y=Mx+N， 代入F坐标（2，0）则N=-2M，
直线L方程可以写为：y=M(x-2)
设P点坐标为（xp,yp），Q点坐标为（xq,yq）
则由于M位线段PQ的中点，所以M点坐标为：[(xp+xq)/2,(yp+yq)/2]
而点M在直线X=-2上的射影为N，所以N点坐标为[-2,(yp+yq)/2]
求向量PN=【-2-xp，(yq-yp)/2】；向量QN=【-2- xq，(yp-yq)/2】
由条件 满足向量PN*QN=0
得：(-2-xp)(-2- xq)+(yq-yp)/2*(yp-yq)/2=0 ，整理得：(yq-yp)^2=4(2+xp)(2+ xq)
由条件：PQ的绝对值=10 得：(xp-xq)^2+(yq-yp)^2=100，
代入上式消掉(yq-yp)^2=4(2+xp)(2+ xq)则：(xp-xq)^2+4(2+xp)(2+ xq)=100
整理得：(xp+xq)^2+8(xp+xq)-84=0，可以求得：xp+xq=6或xp+xq=-14
将直线L方程y=M(x-2)代入双曲线方程x^2-y^2/3=1中
整理后有：（3-M^2)X^2+4M^2x-4M^2-3=0
韦达定理：xp+xq=-4M^2/（3-M^2)
如此得：-4M^2/（3-M^2)=6或-4M^2/（3-M^2)=-14
解方程则：M=3、M=-3或M=√21/3、M=-√21/3

追问

直线L的方程呢?

追答

你太急了，害的我无法再答了，四个答案你自己取舍

追问

谢谢！

追答

由对称性质
y=3x-6 、 y=-3x+6和y=(√21/3)x-2√21/3、y=-(√21/3)x+2√21/3都是所求直线L的方程
【OK】