Question

椭圆C:x²／a²＋y²／b²＝1﹙a＞b＞0﹚的两个焦点为F1，F2，短轴两个端点为A,B，已知│

椭圆C:x²／a²＋y²／b²＝1﹙a＞b＞0﹚的两个焦点为F1，F2，短轴两个端点为A,B，已知│向量OB││向量F1B││向量F1F2│成等比数列，向量F1B*向量F1F2=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1/k2,且k1k2=3／2.
(1)求椭圆C的方程
（2）求证直线l与y轴相交于顶点，并求出顶点坐标
（3）当弦MN的中点P落在四边形F1AF2B内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围
答案：（1）x²／2＋y²＝1
（2）（0,2）
（3）（-∞，-1-√6／2]∪[-1+√6／2，+∞）
主要解答（2）（3）
sorry,(2)求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标

Answer 1

（2）设直线l与y轴交予定点(0,p)则l直线可以写成y=kx+p,代入椭圆方程分别消去x和y得到：
(2k²+1)x²+4kpx+2p²-2=0，(2k²+1)y²-2py+p²-2k²=0
由韦达定理可知：
x1+x2=-4kp/(2k²+1), x1x2=(2p²-2)/(2k²+1), y1+y2=2p/(2k²+1),y1y2=(p²-2k²)/(2k²+1)
(x1,y1)(x2,y2)即MN两点坐标,A点坐标为(0,-1)
AM斜率k1=(y1+1)/x1,AN斜率k2=(y2+1)/x2
k1k2=(y1+1)(y2+1)/x1x2=3/2
代入韦达定理结论化简得：p²-p-2=0
解得p=2或p=-1
当P=-1时，N点与A点重合不符合题意，舍去。
所以p=2
定点坐标为(0,2)
(3) 由韦达定理结论可知MN中点坐标为[-4k/(2k²+1), 2/(2k²+1),]
纵坐标恒大于零，所以只讨论第一、二象限即可。
当MN中点在第二象限时，k>0
F1B方程为y=x+1,代入MN中点坐标1-4k/(2k²+1)=2/(2k²+1),
解得：k=1+√6/2（舍去负根）
当MN中点在第一象限时，k<0
F2B方程为y=1-x,代入MN中点坐标1+4k/(2k²+1)=2/(2k²+1),
k=-1-√6/2
所以K的取值范围是（-∞，-1-√6／2]∪[1+√6／2，+∞）