Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长为4，且点(1,根号3/2)在椭圆上

（1）求椭圆的方程
（2）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A,B两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l的方程。

Answer 1

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长为4，且点(1,根号3/2)在椭圆上
有a=4*/2=2，
1^2/2^2+(√3/2)^2/b^2=1，
解得a=2，b=1，c=√3
∴x^2/4+y^2=1，右焦点F(√3，0)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程：y=k(x-√3)
若以AB为直径的圆过原点，【简单判断一下，知道直线不是水平和竖直方向】
有∠AOB=90°，向量性质：x1x2+y1y2=0 ①
组合两方程
y=k(x-√3)
x^2/4+y^2=1
消去y，(x^2)+4(k^2)(x-√3)^2=4
化简(1+4k^2)(x^2)-8√3(k^2)x+12(k^2)-4=0
解得x1x2=(12k^2-4) / (1+4k^2) ②
消去x，(y+√3k)^2+4(k^2)(y^2)=4(k^2)
化简(1+4k^2)(y^2)+2√3(k^2)y+3(k^2)-4(k^2)=0
解得y1y2=(-k^2) / (1+4k^2) ③
将②③代入①中，化简得到(12k^2-4)+(-k^2)=0
11k^2=4
解得k=±2√11/11
直线l的方程：y=(2√11/11)(x-√3)或y=-(2√11/11)(x-√3)

Answer 2

2a=4,a=2
将已知点坐标代入椭圆方程：1/4 + (3/4)/b^2=1,b=1
椭圆方程为x^2/4 +y^2=1
右焦点坐标(√3,0)
设直线l方程为y=k(x-√3),代入椭圆方程消去y：
(4k²+1)x²- 8√3k²x + 12k²-4=0
x1+x2=8√3k²/(4k²+1)①, x1x2=(12k²-4)/(4k²+1)②
以AB为直径的圆过原点,即OA⊥OB，
y1y2+x1x2=0=k²(x1-√3)(x2-√3)+x1x2=(k²+1)x1x2 -√3k²(x1+x2) +3k²,
将①②代入得：k²=4/11
解得k=±2√11/11
方程为y=±2√11/11(x-√3),