Question

在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，

点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（ √3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于（√3）/4 ，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过B点作AO的垂线，垂足为E
∵△AOB是等边三角形 OA=4
∴AE=EO=2 AB=4 BE=2√3
∴B点的坐标是（2√3，2）
∴AB的解析式为y=√3/3x+4
（2）∵AP=AD ∠PAD=60°
∴△APD是等边三角形
∴DP=AP=√[(√3)²+4²]=√19
tan∠DPx=tan(120-arctan(4/√3))=tan120-tan(arctan(4/√3))/[1+tan120*tan(arctan(4/√3))]
=7/(3√3)
过D点作DF垂直与PF
设PF=3√3x
DF=7x
(3√3x)²+(7x)²=19 勾股定理
x=1/2
PF=3√3/2
DF=7/2
D点坐标为（5√3/2，7/2）
（3）存在，把OP设为a
同理可得
DP=√(a²+4²)=√(a²+16)
tan∠DPx=tan(120-arctan(4/a))=tan120-tan(arctan(4/a))/[1+tan120*tan(arctan(4/a))]
=(4+√3a)/(4√3-a)
设PF=(4√3-a)x
DF=(4+√3a)x
[(4√3-a)x]²+[(4+√3a)x]²=a²+16
x=1/2
DF=(4+√3a)/2
△OPD的面积=a*(4+√3a)/2*1/2=(4a+√3a²)/4
=√3/4
∴a=√13-2√3

Answer 2

简单