Question

已知关于x的一元二次方程x^2-(m^2+3）x+1/2(m^2+2)=0.

(1)求证:无论M是任何实数,方程有两个正根. (2)设X1,X2为方程的两根,...，且满足x1^2+x2^2=17/2，求M的值。

Answer 1

(1)x²-(m²+3)x+1/2(m²+2)=0
判别式=(m²+2)²-4*(1/2)*(m²+3)=(m²+3)(m²+3-2)=(m²+3)(m²+1)>0恒成立
所以方程有2个不相等的实数根
韦达定理
x1*x2=1/2(m²+2)>0恒成立
所以x1和x2同号
x1+x2=m²+3>0恒成立
所以x1>0,x2>0
所以根据以上，方程有2个不相等的正根
(2)把a^2+b^2-ab=17/2化为
a^2+2ab+b^2-3ab=17/2
(a+b)^2-3ab=17/2
由题意得a+b=m^2+3,ab=1/2(m^2+2),把它代入(a+b)^2-3ab=17/2，
m^2=-5(舍去),m^2=1/2
所以m=正负根号2/2

Answer 2

1)delta=(m^2+2+1)^2-2(m^2+2)=(m^2+2)^2+1>0,因此有两不等实根
两根积=1/2(m^2+2)>0, 因此两根同号
两根和=m^2+3>0, 因此两根都为正根。
2）17/2=(x1+x2)^2-2x1x2=(m^2+3)^2-(m^2+2)=(m^2+2)^2+(m^2+2)+1
故有：(m^2+2)^2+(m^2+2)-15/2=0
得： m^2+2=(-1+√31)/2, （另1个负根舍去）
所以m=±√[(√31-5)/2]

Answer 3

（1）x1+x2=m^2+3>0;x1X2=1/2(m^2+2)>0;所以两根都大于0；
（2）x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(m^2+3）^2-2*1/2(m^2+2)=17/2;可解得m的值=±√[(√31-5)/2]