Question

(1)、研究函数f(x)=x^4-8x^2+9在定义域内的单调性，写出它在定义域内的单调递增和递减区间，并说明理由。

（2）、对函数f(x)=x^2+bx+c和f(x)=x^4+bx^2+c(b>0)做推广，使它们都是你所推广的函数的特例，并研究推广后函数的单调性。

Answer 1

常规做法有两种。（1）利用导数直接求解；（2）利用复合函数判断单调性。
本题是两个二次函数的复合。由y=u^2+8u+9，u=x^2复合而成。u≥0。对于y=u^2+8u+9，在u∈[0，+∞）单调递增，对于u=x^2，在x∈(-∞，0]单调递减，在x∈(0，+∞）单调递增。由复合函数单调性判断同增异减可知，整体这个函数在x∈(-∞，0]单调递减，在x∈(0，+∞）单调递增。
关于推广的那个，其实和第一问差不多。关键点在于要关注f(u)=u^2+bu+c(b>0) 的对称轴的正负。因为u≥0，所以对称轴是负的，或者是y轴，那就和第一问一模一样处理。但如果是正的，则f(u)=u^2+bu+c(b>0)会有两个单调区间了，计算就多一些。但类似处理。