Question

高中函数，要过程，数学高手进

21.
已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)和f(x-1)均为奇函数。
(1)若f(w)=0时，w必为整数且可能被2整除，求f(x-1+2011^2012)在[-2011,2012]上的零点个数。
(2)若二次函数g(x)的二次项系数v、两个实数根p和q是(1)中的三个零点值，求g(x)的图象与x轴所围面积的最小值及其个数。
(3)若f(x+a)为奇函数，求a的集合A；设集合B属于A，B中a的个数为2n，所有a的绝对值之和为An，求证：1/A1 + 1/A2 + 1/A3 +…+ 1/A(n+1)的所有值中至少有n-5个在区间(3/4,5/6)内。（n大于5）
(1) w是有可能被2整除
(2) 求最小值及其相应图象的个数。
(3) 若f(x+a)为奇函数，求整数a的集合A；B是A的子集，叫做B包含于A，打错了

Answer 1

因为发在先前版本中你没有理会，现在把新版本的答案贴在这里

（1）∵f（x+1）、f（x-1）为奇函数
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1）
∴f（x）=f（x+4），即f（x）有周期T=4
∵2011^2012-1
=（1+2010）^2012-1
=2010^2012-C（1,2012）2010^2011+C（2,2012）2010^2010+……+C（2010,2012）2010^2+C（2011,2012）2010+1-1
=2010^2012-C（1,2012）2010^2011+C（2,2012）2010^2010+……+C（2010,2012）2010^2+C（2011,2012）2010
显然被4整除
∴f（x-1+2011^2012）=f（x）
①若f（0）=0，
∵f（x）图像关于（-1,0）、（1,0）对称且有周期4，
∴f（0）=f（-1）=f（1）=0，
且f（-1）=f（3）=0（由对称），
f（0）=f（-2）=f（2）=0（前面是由于对称，后面则由于周期性），
∴对所有形如0+4k、1+4k、2+4k、3+4k（k∈Z）的整数n，都有f（n）=0，
也即对所有n∈Z，f（n）=0恒成立。
∵f（x）=0时x必为整数，故f（x）零点的集合就是Z，
∴在[-2011,2012]中有4024个零点
②若f（0）≠0，
由①仍有f（-1）=f（1）=f（3）=0，而f（0）=f（2）=f（4）≠0，
∴仅有形如1+4k、3+4k（k∈Z）的整数n才使得f（n）=0，
故在[-2011,2012]中有503×2+502×2+2=2012个零点

（2）g（x）=vx^2-v（p+q）x+vpq。由于p≠q，且排序任意，不妨设p>q
∴S（p，q）[vx^2-v（p+q）x+vpq]|（S（p，q）表示定积分符号）
=（vx^3/3-v(p+q)x^2/2+vpqx）|（p，q）
=v（p^3-q^3）/3-v（p+q）（p^2-q^2）+vpq（p-q）
=v（p-q）[2（p^2+pq+q^2）-3（p+q）^2+6pq]
=-v（p-q）^3/6
∴所求面积为S=|v（p-q）^3/6|
I.若f（x）零点分布符合①的情况，那么|v|的最小值为1，当p、q取相邻的零点值时得|p-q|的最小值是1，
∴Smin=1/6，对应的函数图象个数为使得|p-q|取最小值的函数个数，为4024-1=4023个
II.若f（x）零点分布符合②的情况，那么|v|的最小值仍然为1，当p、q取相邻的零点值时得|p-q|的最小值是2，
∴Smin=4/3，对应的函数图象个数是2012-1=2011个
（前面有人说升幂繁琐，但这里其实升幂会更简单，且其最高次幂不过是三次，完全是初中就应该能掌握的代数化简过程，而且不需考虑基点问题，不需要对微、积分的贯通思考，这个过程对高中事实上还没有明确的要求。且这个过程很容易就能看出来方向了。）

先前的第三问证得很不严谨，改正如下：

第三问我细想了一下，在前面sb122922同志的启发下，发现的确很难！先前考虑不周到！
请注意：第三问与第一问全无关系，不要受蒙蔽了，以为（1）（2）有顺接关系，（3）就和它们有关！
试解如下：
I.f（x）=0时，显然A=R
∴此时1/A1+1/A2+……+1/A（n+1）的可能值遍历整个R+
∴无论n为何值一定有无穷组值在（3/4,5/6）间，原命题成立
II.f（x）不恒等于0时
设其最小正周期为T=4m，m∈（0,1]
①f（x）不是奇函数时，
∵f（x）=f（x+4m），-f（x-1）=f（-x-1）
∴a+b=4mk+4m-2时（k∈Z），f（a）=-f（b）
∴-f（x+2mk+2m-1）=f（-x+2mk+2m-1）
∴A={a|a=2mk+2m-1，k∈Z}
又由题意1∈A
∴必存在整数k使得2mk+2m-1=1
∴m（k+1）=1，又k+1∈Z
∴必有m=1，此时k+1=1，即k=0
∴A={a|a=2k-1，k∈Z}
知An可以任意大，但有最小值为Anmax=2×（1+3+5+……+2k+1）=2n^2
∵1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2
＜1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/(5×6)+1/(6×7)+......+1/(n-1)n
=1+2389/3600-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+.......+1/(n-1)-1/n
＜5/3-1/n
＜5/3
∴1/A1+1/A2+1/A3+……+1/A（n+1）＜5/6
∵3/4＜1/2+1/8+1/18+1/32+1/50+1/72+1/98＜5/6；
从而n=6时，仅需A1、A2、……、A6、A7都取最小值，所求值就会在该区间内
即至少有n-5=1个值在区间内，即原命题成立。
n≥7时，
∵恒有1/A1+1/A2+1/A3+……+1/A（n+1）＜5/6，且3/4＜1/2+1/8+1/18+1/32+1/50+1/72+1/98＜5/6
∴仅需A1、A1、……、A7都取最小值，都能满足在区间（3/4，5/6）内，即有无穷组值满足条件
∴原命题成立
②f（x）是奇函数时
∵f（x）=f（x+4m），-f（x）=f（-x）
∴m+n=4mk时（k∈Z），f（a）=-f（b）
∴-f（x+2mk）=f（-x+2mk）
∴A={a|a=2mk，k∈Z}
又由题意1∈A
故存在整数k使得1=2mk
∴必有m=1/2，此时k=1
∴A=Z
知An可以任意大，但有最小值
Anmin=（0+1）+（1+2）+（2+3）+……+（n-1+n）=n²
∴由①，仅需A1、A2、……A7都取最小值的两倍，就能满足条件
∴原命题成立

关于（1）问，如果“可能被2整除”必须理解成“至少有一个有零点被2整除”，那么②就可以在算完零点后表示与题意不符，舍弃此种情况，（2）问也可以省掉分类了；但是我仍然认为“可能”并不表示“一定有”，它只是说明在各种情况中，至少有一种情况存在至少一个零点被2整除。不知道你怎么看。

Answer 2

感觉这是道口述整理的题，与前一个版本相比第一小题已经可做了。
∵f(x+1)和f(x-1)均为奇函数。
∴f(1)=f(-1)=0
又f(-x)=f(-x+1-1)=f[-(x-1)-1]=-f[(x-1)-1]=-f(x-2)
f(-x)=f(-x-1+1)=f[-(x+1)+1]=-f[(x+1)+1]=-f(x+2)
∴f(x-2)=f(x+2) 令x-2=t 得： f(t)=f(t+4)
即f(x)是以4为周期的周期函数，由于f(1)=f(-1)=0，∴零点的出现周期为2
函数f(x)的定义域为R，f(x-1+2011^2012）的定义域仍然为R，
2011除以2的余数为1，2011^2012除以2的余数也为1
故f(x-1+2011^2012)在[-2011,2012]上的零点个数与f(x)在[-2011,2012]上的零点个数相同。
f(x)在[-2011,2012]上的零点个数为2012个，故f(x-1+2011^2012)在[-2011,2012]上的零点个数也为2012个。

Answer 3

（1） （2）我已解决，我对（3）出题持怀疑态度
【解】
（1）我想一下你就能看出来由f(x+1)和f(x-1)均为奇函数可得f(x)=f(x+4)
1′ T>4 T=4l（l为正整数 )
2′ T<=4 T=4/k (k为正整数)
又∵f(x)的定义域为R，
∴f(1）=f(-1)=0
∵若T=4l 零点xo=2l·N+1 奇数 (舍)
若T=4/k xo=2/k·N+1
k=1 显然不行
k=2 xo为所有整数 可以
k>2 xo将出现分数不行
综上 当且仅当x为整数点时是零点
∵-1+2011^2012是整数
∴不影响零点分布零点个数为2012-（-2011）+1=4024
(2) 定量分析显然很繁 用定性分析
设g(x)=a(x-x1)(x-x2)
=ax^2-a(x1+x2)+ax1x2
(a=v)
Ymax=-[a(x1-x2)^2]/4
两交点x1- x2最小绝对值显然为1
现使Ymax绝对值最小即可
a不等于0
∴a=-1或1
不妨设a=1 x1=0 x2=1
对g(x)在[0,1]积分即可
我就不算了
在（2）中我不知道让求什么的个数
最小值的个数永远只有1个
要是图像的个数就是2*（2*2011+1） （第一个2是因为a取-1 1开口向上向下
后面要是不懂就再追问我把)
(3)我之所以说有毛病就是因为和第一问有关
你要是看清楚了第一问我的过程，你就明白我在说什么，
集合A是不能确定的
以上是第一个原因
第二，即使顺势让A={x|x=2n+1,n∈N}后面要证明的也有问题，
我让B中有限的元素都是很大很大的元素，那么绝对可以找出多余5个的1/A1 + 1/A2 + 1/A3 +…+ 1/A(n+1) 使之＜3/4
我只能说题意不明，要让我证的东西及条件没说清楚
但此题很好，很典型，也很有难度，在压轴题里也算综合题了，但不是很难，因为不够抽象
你最好和老师商量商量，我刚上大一水平很有限

追问

(1)问没看懂。(2)问是图像个数，对了。(3)问是至少n-5个（n>5)，肯定有无穷多个不在区间内，比如n=6时至少有1个。请你确定一个不是奇数的a使得f(x+a)是奇函数的给我看看。

追答

第一问个数错了吗？

追问

结果是没错，但我不知道你是怎么确定x只要是偶数，f(x)就等于0

追答

我没有说x是偶数f(x)就等于0
你可能没懂我意思。不好意思，我说的周期的方面的问题你懂了吗，就是说
有 f(t)=f(t+4)，不意味着4是最小正周期，
因为我如果发图说明的话会用一段时间（百度要审核图片内容，传到时间会到晚上4点多）
如果你不是很急我就给你画一下我的原始想法

我想我大概知道你想说什么了，对不起，最开始没看懂
我是说如果T>4，那么零点出现周期是其1/2 即整数 2l
但是那么零点全都是奇数，不可能有偶数，就是不满足题里说的可能被二整除，
（这里可能出现你的另一思维误区，就是说“可能”，这里的“可能”是说在零点中，任意抽取一零点，这一零点是偶数的概率>0，而不是，可以被2整初，也可以不被2整出)
而当T<=4时，T可以是2,1，1/2，但是题里告诉你w是整数

追问

不用考虑4是否是最小正周期，因为根据f(0)=f(4k)，f(2)=f(2+4k)，就能确定只要x是偶数，f(x)=f(0)或f(2)，当某一偶数w使f(w)=0时，f(0)或f(2)=0，又f(0)=-f(2)，则两个都为0，全部偶数都使f(x)=0
(2)问有个疑问，当两根为2011和2012时，求得的定积分值t，两根是0和1时求得u，t与u是相等还是不等？还有很多个tu呢，谁知道哪个最小

追答

(1)中，你的想法可以，但是不只是所有偶数，最后是所有奇数也符合条件的，即所有正整数
(2)t u是相等的，这个问题不应该从积分的角度去看，因为用积分会涉及升幂，会变得较繁，关键问题在与函数图像的形状，那么我就从如何确定函数形状下手，请看以下陈述
当两根是0,1时我以（0，g(0)）为基点对g(x)的导函数进行积分即可构建出g(x)，（在头脑中想象函数出现的情景）
同理当两根是2011,2012时依然这样做，但是是以（0，g(2011)）为基点。
这样问题就转化成看每一部分的导函数是否相同，注意，不是完全相同，是从基点开始每移动一点点，这一点点都是相同的。
【证】
g′(x)=a(2x-x1-x2)也就是说, 每当我基点变的时候我以x1为基点那么每次基点的导数为
g′(x1)= -a
这样我想就应该挺明显看得出形状相同了

呵呵，今天碰上高中的好学生了，上高三的吗？

Answer 4

你的第三问有毛病。问题不是处在A，而是An。显然，A是所有奇数组成的集合的真子集，那你An中的n代表什么？是单纯的B中的a的个数吗？就这一点，我持怀疑态度

追问

设得很清楚了。n表示B中a的总数的一半，An表示只含有2n个a的集合B中所有a的绝对值之和。An与A是两个不直接相关的量，可以把An换成Tn。

追答

我知道，A是关于n的集合，An可以看作一个数列。这个能解的，但是今天太晚了，明天给你解好么？

Answer 5

.....

Answer 6

………………