Question

问各位一道高数题

问各位一道高数题R-X=t这一步代换，到底是怎么想到这么做的啊，我感觉如果不看答案，根本就想不到这样代换。还有就是如果不用这个代换，应该怎么计算呢，我把根号的东西用三角代换划出来以后式子变的特别复杂，根本没法算

Answer 1

∵x^2 *1/π * 1/√(1-x^2)是偶函数
∴∫(-1->1) x^2 *1/π * 1/√(1-x^2) dx
=2∫(0->1) x^2 *1/π * 1/√(1-x^2) dx
=2/π ∫(0->1) x^2dx/√(1-x^2)
令x=sint dx=costdt
√(1-x^2)=cost
当x=0时 t=0
当x=1时 t=π/2
∴原式=2/π ∫(0->π/2) sin^2 t *costdt /cost
=2/π ∫(0->π/2) sin^2 t dt
=1//π ∫(0->π/2) 2sin^2 t dt
=1//π ∫(0->π/2) (1-cos2t) dt
=1//π ∫(0->π/2) dt -1//π ∫(0->π/2) cos2t dt
=1//π *π/2 -1//2π *(sinπ-sin0)
=1/2

Answer 2

套公式