Question

已知：抛物线Y=1/2X^2-3X+C交于X轴正半轴于A,B两点，交Y轴于C点，过A,B,C三点作圆D，圆与Y轴相切，

(1)求C的值
（2）连接AC,BC,设角ACB=α，求tanα.
(3)设抛物线定点为P，判断直线PA与原D的位置关系，并证明
（3）中是圆D

Answer 1

根据题意抛物线y=1/2x²-3x+c交于x轴正半轴，交y轴于c点，
则可知抛物线开口向上，且c＞0，
而y=1/2x²-3x+c=1/2(x-3)²-9/2+c
得出三个点的坐标为A(3-√9-2c,0)、B(3+√9-2c,0)、C(0,c)，
抛物线的对称轴为x=3
又有过A,B,C三点的圆D与Y轴相切，则其切点为C(0,c),
故圆的半径为r=3,设圆D的圆心为O，则其坐标为(3,c),
过O点向x轴做垂线，交x轴于E(3,0),E点为AB的中点，
则有直角三角形AOE，AO=3，OE=C,AE=√9-2c,
根据勾股定理，有9=c²+(9-2c),解得c=0或2，又因为c＞0,故c=2;

角ACB为圆D的圆弧角(弧AB),角AOB为圆心角(弧AB),
则2倍角ACB=角AOB，而2倍角AOE=角AOB
故角ACB=角AOE，故tanα=AE/OE=√5/2（2分之根5）

直线PA与圆D是相切的关系
证明如下;
抛物线顶点P坐标为(3,-5/2),A(3-√5,0),
则有直角三角形AEP,AE=√5,EP=5/2,
根据勾股定理，AP=3√5/2(2分之3倍根5），
又OP=OE+EP=2+5/2=9/2，OA=3，
则有OP²=AP²+OA²
故三角形OAP为直角三角形，故直线PA与圆D相切。