Question

若两卫星相撞前速度大小相等，则运动周期一定相等”如何推出？

比如一圆轨道上的卫星和一椭圆轨道上的卫星相撞，若相撞时速度大小相等，能否证明圆轨道的半径一定等于椭圆轨道的半长轴？或者说机械能相等的两个卫星相撞时周期是否相等？最好能用高中知识给以证明。谢谢！

Answer 1

假设一个椭圆轨道卫星A（轨道参数a，c，近地点速度v1，远地点速度v2），则有：
A在近地点机械能等于A远地点机械能：E1=1/2m×v1²-GMm/(a-c)=1/2m×v2²-G(Mm)/(a+c)
A在远、近地点角动量守恒或利用开普勒第二定律：v1(a-c)=v2(a+c)
解得：E1=-GmM/(2a)

设圆轨道卫星B（轨道半径r，速度v），则有：
B的速度与轨道半径r关系：v²/r=GM/(r²)
B的机械能：E2=1/2mv²-G(Mm)/r
解得：E2=-GmM/(2r)

不妨假设两卫星质量相等（轨道一定，质量不影响周期）。由于A与B在轨道交点（同势能）速度大小相等（同动能），所以两者机械能相等，从而有：
-GmM/(2a)=-GmM/(2r)
得：a=r

Answer 2

说“若两卫星相撞前速度大小相等，则运动周期一定相等”应该有前提，即处于圆轨道上的卫星。若是一个椭圆轨道上的卫星和另一个圆轨道上的卫星速度相等，周期不一定相等。

Answer 3

物理问题都是相对的，你这个问题是否没说完，这个卫星周期问题，是要有一个一定的中心天体的。不同中心天体相对的卫星即使周期或速度一样，其它的量都不一定一样。