Question

（2011南宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动

（2011南宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：
(1)把点A(3，0)、B(0，－3)代入y=x2＋mx＋n，解得m=-2，n=-3，所以抛物线的解析式为
y=x^2-2x-3；
设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A(3，0)、B(0，－3)代入y=kx+b，解得k=1，b＝-3，
所以直线AB的解析式为y=x-3。
(2)设P（t，t-3），则M（t，t^2-2t-3），PM=t-3-(t^2-2t-3)=-t^2+3t=-(t-3/2)^2+9/4，当t=3/2时，PM最长为9/4，此时P的坐标为（3/2，-3/2），M的坐标是（3/2，-15/4），所以△ABM的面积＝△APM的面积+△BPM的面积=0.5*9/4*3/2+0.5*9/4*3/2=27/8。
(3)要使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则OB=PM=3，即t^2-3t＝3，解得
t=(3+根号21)/2或t=(3-根号21)/2，所以P的坐标是[(3+根号21)/2，0]或[(3+根号21)/2，0]。

Answer 2

解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入 ，得

　　解得

　　所以抛物线的解析式是 .

　　设直线AB的解析式是 ,把A（3，0）B（0， ）代入 ,得

　　解得

　　所以直线AB的解析式是 .

　　(2)设点P的坐标是（ ）,则M（ , ）,因为 在第四象限，所以PM= ，当PM最长时 ，此时

　　= = .

　　（3）若存在，则可能是：

　　①P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM最长时 ，所以不可能.

　　②P在第一象限平行四边形OBPM： PM=OB=3， ，解得 ， （舍去），所以P点的横坐标是 .

　　③P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3， ，解得 （舍去）， ，所以P点的横坐标是 .

　　所以P点的横坐标是 或 .